¿Por qué la necesidad de vectores tensoriales?

Para un observador, un vector clásico puede representar, por ejemplo, una posición en el espacio; sin embargo, para un segundo observador, que esté desplazándose con respecto al primero, ese vector no representa la misma posición, inclusive si ambos observadores estuviesen en el mismo sitio, en un determinado instante.

Un vector tensorial, en cambio, tendrá la misma magnitud, para todo observador inercial, es decir que se desplace sin acelerar y con velocidad uniforme con respecto a los otros observadores.

Un vector tensorial debe tener una componente escalar, que corresponde al tiempo, además de al menos una componente adicional, que corresponde al espacio.

Cualquiera de los observadores de un vector tensorial obtendrá el mismo resultado que cualquier otro observador, si es que conoce cómo se desplaza su propio marco de referencia inercial, con respecto al otro observador; esto es, si conoce cuál es su velocidad, relativa al otro observador. Con este dato, un observador aplica una transformación de Lorentz, al vector percibido por el otro observador, para obtener el resultado que él mismo puede medir.

Las transformaciones de Lorentz son ecuaciones que expresan cómo se calculan las coordenadas de espacio y tiempo para un segundo observador, dadas las coordenadas de espacio y tiempo percibidas por un primer observador. Un vector tensorial se debe transformar con ecuaciones de idéntica forma que la citada transformación de Lorentz, sin importar la variable que represente.

Por ejemplo, consideremos el momentum de un objeto. Para un observador que se desplace junto al objeto el momentum es cero, puesto que su velocidad relativa es nula. Si otro observador tiene una cierta velocidad relativa al objeto, obviamente, el momentum es algún valor positivo. ¿Cómo se calcula el momentum percibido por el segundo observador con los datos percibidos por el primero? Pues con una transformación de Lorentz. Esta es la utilidad de los vectores tensoriales.

No siempre los matemáticos y los físicos trabajan apropiadamente con los vectores tensoriales. Por ejemplo, en la Física actual no está reconocida la necesidad de una componente escalar para el campo electromagnético, a pesar de que, como se indicó más arriba, esa componente es una condición necesaria para construir un tensor vectorial. En otras respuestas en Quora he explicado la importancia de introducir esa componente y cómo transformar el vector de campo electromagnético: