r la esperanza y varianza de la variable aleatoria considerada. Para ello, nos es útil acomodar los datos en una tabla recordando que… μ = Σ x [P(X=x)], y que, σ2 = Σ (x – μ)2 [P(X=x)] Parámetros de la distribución binomial. Si interpretamos las probabilidades anteriores en un sentido frecuentista, diríamos que si consideramos un número grande de realizaciones del experimento, por ejemplo, un millón de veces, en aproximadamente 614 125 realizaciones tendremos televisores sin defecto; en 325 125 veces encontraremos un televisor con defecto; en otras 57 375 ocasiones encontraremos dos televisores con defecto; y en 33 751 veces los tres televisores estarían defectuosos. Calculo del promedio y la varianza. Luego… μ = 450 000/1 000 000 = 0.45 Asimismo, podemos calcular la varianza σ2 = [614125(0-0.45)2 + 325125(1-0.45)2 + 57375(2-0.45)2 + 3375(3-0.45)2]/100 = (124360.313 + 98350.3125 + 137843.438 + 29945.9375)/100 = 0.3825 Observa que hemos seguido fielmente las lecciones de estadística descriptiva en el cálculo de μ y σ, y que hemos llegado a los mismos valores que ya habíamos obtenido. Esto nos proporciona por lo menos un esquema con el cual podemos interpretar la esperanza y varianza, haciendo uso del concepto de frecuencias. Es importante darse cuenta que podemos llegar a estos mismos valores de un modo más sencillo si nos percatamos que… μ = 0.45 es precisamente el resultado que se obtiene al multiplicar el número de ensayos por la probabilidad de éxito, esto es, 3(0.15). σ2 = 0.3825 es precisamente el resultado que se obtiene al multiplicar el número de ensayos por la probabilidad de éxito y por la de fracaso, esto es, 3(0.15) (0.85). En otras palabras… Media y varianza de una variable aleatoria binomial μ = npσ2 = npq Distribución Multinomial. Un proceso de ensayos multinomiales es una secuencia de variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente, X=(X1,X2,…)X=(X1,X2,…) cada una de las cuales toma valores kk posibles. Así, el proceso de ensayos multinomiales es una simple generalización del proceso de ensayos de Bernoulli (que corresponde ak=2k=2). Por simplicidad, denotaremos el conjunto de resultados por{1,2,…,k}{1,2,…,k}, y denotaremos la función de densidad de probabilidad común de las variables de ensayo por: pi=P(Xj=i),i∈{1,2,…,k}(11.5.1)(11.5.1)pi=P(Xj=i),i∈{1,2,…,k} supuesto pi>0pi>0 para cadaii y ∑ki=1pi=1∑i=1kpi=1. En términos estadísticos, la secuencia XX se forma por muestreo a partir de la distribución. Al igual que con nuestra discusión sobre la distribución binomial, nos interesan las variables aleatorias que cuentan el número de veces que ocurrió cada resultado. Así, vamos. Por supuesto, estas variables aleatorias también dependen del parámetro (el número de ensayos), pero este parámetro está fijo en nuestra discusión así que lo suprimamos para mantener la notación simple. Tenga en cuenta que ∑ki=1Yi=n∑i=1kYi=n así si conocemos los valoresk−1k−1 de las variables de conteo, podemos encontrar el valor de la variable restante. Yi=#{j∈{1,2,…,n}:Xj=i}=∑j=1n1(Xj=i),i∈{1,2,…,k}(11.5.2)(11.5.2)Yi=#{j∈{1,2,…,n}:Xj=i}=∑ j=1n1(Xj=i),i∈{1,2,…,k} Los argumentos básicos usando independencia y combinatoria pueden ser utilizados para derivar las densidades conjuntas, marginales y condicionales de las variables de conteo. En particular, recordemos la definición del coeficiente multinomial: para enteros no negativos (j1,j2,…,jn)(j1,j2,…,jn) con∑ki=1ji=n∑i=1kji=n, (nj1,j2,…,jk)=n!j1!j2!⋯jk!(11.5.3)(11.5.3)(nj1,j2,…,jk)=n!j1!j2!⋯jk! Distribución Conjunta Para enteros no negativos (j1,j2,…,jk)(j1,j2,…,jk) con∑ki=1ji=n∑i=1kji=n, P(Y1=j1,Y2,=j2…,Yk=jk)=(nj1,j2,…,jk)pj11pj22⋯pjkk(11.5.4)(11.5.4)P(Y1=j1,Y2,=j2…,Y k=jk)=(nj1,j2,…,jk)p1j1p2j2⋯pkjk