DIFERENCIAL TOTAL EXACTO – LA FUNCIÓN POTENCIAL
Dada una expresión diferencial ( ) ( ) dy.y;xQdx.y;xP + es un diferencial total exacto si existe una función potencial U = ( )y;xf tal que su diferencial es
( ) ( ) ( )dy.y;xQdx.y;xPy;xdU += .
Vamos a determinar la existencia de la función U(x;y).
Condición de simetría
Si ( ) ( ) y' ''
x ydU P x; y .dx Q x; y .dy U P U Q= + = = . Si calculamos las
derivadas segundas cruzadas obtenemos: '
x
"yx
'
y
xy QUPU == y . Por lo tanto
' '
y xP Q= , igualdad que se conoce como la condición de simetría.
Es decir, para que una expresión sea un diferencial total exacto se debe cum-
plir la condición de simetría.
Una vez que hemos verificado que existe U(x;y), debemos calcularla.
Cálculo de U(x;y)
Como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1yy;xFdx.y;xPy;xUy;xP
x
u α+===
∂
∂
La constante de integración se puede expresar como una función de y porque
estamos integrando según la variable x. Pero además
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2xy;xFdy.y;xQy;xUy;xQ
y
u β+===
∂
∂
Ambas integrales deben ser iguales, por lo tanto pueden diferir solo en una
constante.
Por lo tanto U(x;y) se obtiene comparando las integrales (1) y (2).
( ) ( ) ( ) ( ) Cyxy;xFy;xU +++= βα
Para cada valor de C se obtiene una función potencial.
Ejemplo: ( ) ( )dy.yxdx.yx 23 22 +++
Primero verificamos la condición de simetría: '
x
'
y
QP ==1 .
Hemos verificado que la expresión es diferencial exacta. Ahora debemos en-
contrar la expresión general de U (x;y).
( ) ( ) ( )yyxxdx.yxy;xU α++=+=
2
2
4
3
( ) ( ) ( )xyxydy.yxy;xU β++=+=
3
22
3
2
Si comparamos las dos integrales, que como vimos deben ser iguales, vemos
que la función de y que figura en la 1º integral es
32 3y que aparece en la 2º
integral y que la función de x que aparece en la 2º integral es
24x
, que apa-
rece en la 1º integral. ( ) Cyxxyy;xU +++=
32
2
234.
Verificación
Es muy fácil verificar si la expresión es diferencial exacta. Si calculamos el
diferencial total de la función U(x;y) que hemos obtenido, debemos obtener
la expresión diferencial.