Diferenciales 121
Si hacemos 1ε=Δx y 22 ε=Δx , vemos que ε1 → 0 y ε2 → 0 cuando Δx → 0, con lo cual queda demostrado que la función es diferenciable.
Demostrar que una función es diferenciable aplicando la definición no es, por lo general, sencillo. Veremos algunas propiedades que pueden facilitar el análisis de la diferenciabilidad de una función.
Condición necesaria para que una función sea diferenciable
De las propiedades a) y b) surge que es condición necesaria para que una función z = f (x;y) sea diferenciable en el punto P0 = (x0;y0) interior a su do-mino que sea continua y admita derivadas parciales de 1º orden finitas en dicho punto.
Por lo tanto si una función de dos variables no es continua o no es derivable, entonces no es diferenciable.
Condición suficiente para que una función sea diferenciable
De la expresión (2) surge que es condición suficiente para que una función z = f (x;y) sea diferenciable en el punto P0 = (x0;y0) interior a su domino que las derivadas parciales de 1º orden finitas sean continuas en un entorno de dicho punto1.
Nota: si la función es continua, con derivadas parciales finitas, pero no conti-nuas en un entorno del punto, entonces no podemos asegurar nada acerca de la diferenciabilidad. Debemos recurrir a la definición de función diferenciable.
Síntesis de propiedades
1) Si z = f (x;y) no es continua o no es derivable en un punto P0 = (x0;y0), entonces no es diferenciable en ese punto.
2) Si z = f (x;y) es diferenciable en un punto P0 = (x0;y0), entonces es conti-nua en ese punto y admite derivada en cualquier dirección y sentido.
1 Se puede demostrar que es suficiente que una sola de las derivadas parciales sea continua para que la función sea diferenciable.
Alejandro E. García Venturini122
3) Si z = f (x;y) es continua con derivadas parciales finitas no continuas en entorno del punto, puede o no ser diferenciable. Hay que recurrir a la de-finición.
Veamos algunos ejemplos
I) Analizar si son diferenciables en el origen las siguientes funciones utili-zando las propiedades vistas.
1)
( ) ( )
( ) ( )
22
0 0
0 0 0
x y x; y ;
+ yz = x
x; y = ;
≠
Primero analizamos la continuidad. Si no es continua sabemos que no es di-ferenciable.
a) f (0;0) = 0
b) Calculamos el lim radial:
( ) ( ) ( ) 222
2
0
220
220 11 m+
m
m+.x
mx
lim
mx+x
mx.x
lim =
y+x
yx
limL
xx
mxy
x
r ===
→→
=
→
Vemos que la función no es continua en P0 = (0;0) y por lo tanto no es dife-renciable en P0= (0;0).
En este caso tenemos una función que por no ser continua no es diferenciable.
2)
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
0 0
0 0 0
x y x; y ;
+ yz = x
x; y = ;
≠
Primero analizamos la continuidad de la función.
a) f (0;0) = 0 b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2
2
2 22 20 0 0 0
0
x;y ; x;y ;
x y xL = = y . = lim lim
x + x + y y→ →
Diferenciales 123
Por ser el producto entre un infinitésimo y una función acotada.
Vemos que la función es continua en el origen. Ahora debemos analizar la de-rivabilidad.
En P0 = (0;0): ( ) ( ) ( ) 000
0
00000
00
=
x lim=
x
;f x;f
lim=;z
x x
'
x
−
−
−
→→
( ) ( ) ( ) 000
0
00000
00
=
ylim=
y
;f ;yf
lim=;z
y y
'
y
−
−
−
→→
Vemos que f es derivable en P0. Ahora debemos ver si alguna de las deriva-das parciales es continua. Calculamos entonces las funciones derivadas par-ciales.
En P0 ≠ (0;0):
( ) ( ) ( ) ( )y+x
xy=
y+x
yxxy+yx=
y+x
x.y xy+x.xy=
z
22 2
4
22 2
23423
22 2
22222 222222 −−
∂
∂
( ) ( ) ( ) ( )y+x
yx=
y+x
yxyxy + x=
y+x
y.y x y+xy .x=
z
22 2
4
22 2
32324
22 2
22222 222222 −−
∂
∂
Por lo tanto: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
222
2 0 0
0 0 0
'
x
xy x; y ;
+z = yx
x; y = ;
≠
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
222
2 0 0
0 0 0
'
y
x y x; y ;
x + yz =
x; y = ;
≠
Debemos analizar la continuidad de las derivadas parciales en P0 = (0;0)
a) '
xz (0;0) = 0 b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
2
22
4224
4
0022 2
4
00
=
yyxx
y.xlim=
y+x
xy
limL =
;x;y ;x;y ++→→
Alejandro E. García Venturini124
Por ser el producto entre un infinitésimo y una función acotada.
Vemos que '
xz es continua en el origen.
a) '
yz (0;0) = 0 b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
2
22
4224
4
0022 2
4
00
=
yyxx
x.ylim=
y+x
yx
limL =
;x;y ;x;y ++→→
Por ser el producto entre un infinitésimo y una función acotada.
Vemos que '
yz es continua en el origen.
Hemos analizado la continuidad de ambas derivadas parciales como ejemplo pero con una sola alcanza.
Las derivadas parciales son continuas en P0 = (0;0), por lo tanto la función es diferenciable en dicho punto.
3)
( ) ( )
( ) ( )
2
22
3 0 0
0 0 0
x y x; y ;
x + yz =
x; y = ;
≠
Analizamos la continuidad de la función.
a) f (0;0) = 0 b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
033
22
2
00
22
2
00
=
y+x
x.y lim=
y+x
yx
limL =
;x;y ;x;y →→
Por ser el producto entre un infinitésimo y una función acotada.
Vemos que la función es continua en el origen, por lo tanto no podemos saber si es diferenciable. Vamos a analizar la continuidad de las derivadas parciales, para lo cual las calculamos.
En P0 = (0;0): ( ) ( ) ( ) 000
0
00000
00
=
x lim=
x
;f x;f
lim=;z
x x
'
x
−
−
−
→→
( ) ( ) ( ) 000
0
00000
00
=
ylim=
y
;f ;yf
lim=;z
y y
'
y
−
−
−
→→
Vemos que la función es derivable en P0 = (0;0). Debemos analizar si las derivadas parciales son continuas.
En P0 ≠ (0;0):
( ) ( ) ( ) ( )y+x
xy=
y+x
yxxyy + x=
y+x
xy .xy+xxy .=
x
z
22 2
3
22 2
333
22 2
222 6666236 −−
∂
∂
( ) ( ) ( ) ( )y+x
yx x=
y+x
yxyx+x=
y+x
yy .xy+x.x=
y
z
22 2
224
22 2
22224
22 2
2222 33633233 −−−
∂
∂
Por lo tanto: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
≠
000
006
22 2
3
; = x;y
;x;y y+x
xy
= z'
x ( ) ( ) ( )
( ) ( )=
≠−
000
0033
22 2
224
;x;y
;x;y y+x
yxx
=z'
y
a) '
xz (0;0) = 0
b) Calculamos el límite radial
( ) ( )
( )
( )[ ]
42
3
44424
43
0
222
3
0
222
3
0
21
6
2
666
mm+
mxmx