Suponga que para algún número t con t = 0, la sucesión 1, t, t 2, t 3, . . . , t n, . . ., satisface la relación (5.8.1). Esto significa que cada t...

Suponga que para algún número t con t = 0, la sucesión 1, t, t 2, t 3, . . . , t n, . . ., satisface la relación (5.8.1). Esto significa que cada término de la sucesión es igual a A veces el término anterior más B veces el término anterior. Ahora trabaje hacia atrás. Suponga que t es un número que satisfaga la ecuación (5.8.2). ¿La sucesión 1, t, t 2, t 3, . . . , t n, . . . , satisfacen la relación (5.8.1)? Para responder a esta pregunta, multiplique la ecuación (5.8.2) por t k ฀ 2 para obtener t k ฀ 2 t 2 ฀ t k ฀ 2 At ฀ t k ฀ 2 B 0. Esto es equivalente a t k ฀ At k ฀ 1 ฀ Bt k ฀ 2 0 o t k At k ฀ 1 Bt k ฀ 2. Por tanto la respuesta es sí: 1, t, t 2, t 3, . . . , t n, . . . satisface la relación (5.8.1) Este análisis demuestra el siguiente lema. Lema 5.8.1 Sean A y B números reales. Una relación de recurrencia de la forma ak = Aak ฀ 1 Bak ฀ 2 para todo entero k 2 5.8.1 se satisface con la sucesión 1, t, t 2, t 3, . . . , t n, . . ., donde t es un número real distinto de cero, si y sólo si, t satisface la ecuación t 2 ฀ At ฀ B 0 5.8.2 La ecuación (5.8.2) se llama la ecuación característica de la relación de recurrencia. Definición Dada una relación de recurrencia lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes: ak = Aak ฀ 1 Bak ฀ 2 para todo entero k 2 5.8.1 la ecuación característica de la relación es t 2 ฀ At ฀ B 0 5.8.2 Ejemplo 5.8.2 Uso de la ecuación característica para encontrar soluciones a una relación de recurrencia Considere la relación de recurrencia que especifica que el k-ésimo término de una sucesión es igual a la suma de los (k ฀ l)-ésimo término más dos veces el (k ฀ 2)-ésimo término. Es decir, ak = Aak ฀ 1 2ak ฀ 2 para todo entero k 2. 5.8.3 Determine todas las sucesiones que satisfacen la relación (5.8.3) y tienen la forma 1, t, t 2, t 3, . . . , t n, . . . donde t es distinto de cero. Solución Por el lema 5.8.1, la relación (5.8.3) se satisface con una sucesión 1, t, t 2, t 3, . . . , t n, . . . si y sólo si, t satisface la ecuación característica t 2 ฀ t ฀ 2 0. Ya que t 2 ฀ t ฀ 2 (t ฀ 2)(t 1), los únicos valores posibles de t son 2 y ฀1. De lo que se deduce que las sucesiones 1, 2, 22, 23, . . . , 2n, . . . y 1, ฀1, (฀1)2, (฀1)3, . . . , (฀1) n, . . . son ambas soluciones para la relación (5.8.3) y no hay otras soluciones de esta forma. Observe que estas sucesiones se pueden escribir más simplemente como 1, 2, 22, 23, . . . , 2n, . . . y 1, ฀1, 1, ฀1, . . . , (฀1) n, . . . . El ejemplo anterior muestra cómo encontrar dos sucesiones distintas que satisfacen una relación de recurrencia de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes dada. Resulta que cualquier combinación lineal de dichas sucesiones produce otra sucesión que también satisface la relación. Lema 5.8.2 Si r0, r1, r2,... y s0, s1, s2,... son sucesiones que satisfacen la misma relación de recurrencia de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes y si C y D son cualesquiera números, entonces la sucesión a0, a1, a2,... definida por la fórmula an = Crn Dsn para todo entero n 0 también satisface la misma relación de recurrencia. continúa en la página 320 320 Capítulo 5 Sucesiones, inducción matemática y recurrencias Demostración: Supongamos que r0, r1, r2, . . . y s0, s1, s2, . . . son sucesiones que cumplen la misma relación de recurrencia lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. En otras palabras, supongamos que para algunos números reales A y B, rk = Ark ฀ 1 Brk ฀ 2 y sk = Ask ฀ 1 Bsk ฀ 2 5.8.4 para todo entero k 2. Supongamos también que C y D son números. Sea a0, a1, a2, . . . la sucesión definida por an = Crn Dsn para todo entero n 0 5.8.5 [Debemos demostrar que a0, a1, a2, . . . satisface la misma relación de recurrencia que r0, r1, r2, . . . y s0, s1, s2, . . . Es decir, debemos demostrar que ak = Aak฀1 Bak฀2, para todos los enteros] k 2. Para todo entero k 2, Aak−1 + Bak−2 = A(Crk−1 + Dsk−1) + B(Crk−2 + Dsk−2) = C(Ark−1 + Brk−2) + D(Ask−1 + Bsk−2) = Crk + Dsk = ak sustituyendo (5.8.5) por álgebra básica sustituyendo (5.8.4) sustituyendo (5.8.5) Por tanto a0, a1, a2, . . . satisface la misma relación de recurrencia que r0, r1, r2, . . . y s0, s1, s2, . . . [como se quería demostrar]. Dada una relación de recurrencia lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, si la ecuación característica tiene dos raíces distintas, entonces se pueden utilizar en conjunto los lemas 5.8.1 y 5.8.2 para encontrar una sucesión en particular que satisfaga tanto la relación de recurrencia como a las dos condiciones iniciales dadas. Ejemplo 5.8.3 Determine la combinación lineal que satisface las condiciones iniciales Encuentre una sucesión que satisfaga la relación de recurrencia del ejemplo 5.8.2, ak = ak ฀ 1 2ak ฀ 2 para todo entero k 2, 5.8.3 y que también satisface las condiciones iniciales a0 = 1 y a1 = 8. Solución En el ejemplo 5.8.2, ambas sucesiones 1, 2, 22, 23, . . . , 2n, . . . y 1, ฀1, 1, ฀1, . . . , (฀1) n, . . . satisfacen la relación (5.8.3) (aunque no cumplan las condiciones iniciales). Por el lema 5.8.2, por tanto, cualquier sucesión a0, a1, a2, . . . que satisface una fórmula explícita de la forma an = C 2n D(฀1)n 5.8.6 donde C y D son números, también satisface la relación (5.8.3). Puede encontrar C y D para que a0, a1, a2, . . . satisfaga las condiciones iniciales dadas sustituyendo n 0 y n 1 en la ecuación (5.8.6) y despejando C y D: a0 = 1 = C ·20 + D(−1)0, a1 = 8 = C ·21 + D(−1)1.