se puede expresar en serie de potencias de 2η , donde el primer término es constante, cuyo desarrollo es de la forma: iM = 0α + 2ηα + 4ηα + . ....

se puede expresar en serie de potencias de 2η , donde el primer término es constante, cuyo desarrollo es de la forma: iM = 0α + 2ηα + 4ηα + . . . Además: Si j = i − 2, entonces 2i,iK − = iN = 2ηβ + 4ηβ + . . . Si j = i − 4, entonces 4i,iK − = iP = 4ηγ + 6ηγ + . . . Los coeficientes 0α , 2α , 4α ; 2β , 4β ; 4γ , 6γ , sólo dependen de los coeficientes de Laplace 2, es decir de los coeficientes de las series de Fourier de las siguientes funciones: § 7.3 Desarrollo de la función perturbadora en serie de potencias de e y e´. 1 Consultar: Brouwer, D. & Clemence, G.; 1961, “Methods of Celestial Mechanics”, págs. 471-476 y 495-502. 145 Fig. 36. Elementos angulares de la órbita. Ω = longitud del nodo ascendente. ω = argumento del perihelio. ϖ = longitud del pericentro. V = anomalía verdadera. w = longitud verdadera en la órbita. Además, la longitud excéntrica ε = ϖ + E y la longitud media λ = ϖ + M. 2 1−Γ = 2 1∑∞∞−θicosAi a a´ 2 3−Γ = 2 1∑∞∞−θicosBi a 2 a´2 2 5−Γ = 2 1∑∞∞−θicosCi donde θ = l´ − λ, la función Γ = a2 + a´2 − 2 a a´ cos ( l´ − λ) y los coeficientes A i, B i, C i son pares, i.e., A i = A − i . La Figura 36 muestra la definición de los elementos angulares de la órbita. Para obtener el desarrollo de la parte principal de la función perturbadora en serie de potencias de e y e´, basta reemplazar en la ecuación (7.8) el semieje mayor a por r, a´por r´, l por v y l´por v´; donde r = a (1 + x) y r´= a´(1 + x´), las variables x y x´ se anulan cuando e = e´= 0; análogamente para la longitud verdadera v = l + y, v´= l´+ y´, implica y = y´= 0 para e = e´= 0. El primer paso consiste en reemplazar a por r y a´por r´ en los coeficientes del desarrollo de los jiK que sólo depende de η2 y de los coeficientes de Laplace 1, los cuales a su vez sólo dependen de a y a´, luego se tiene, ΩΩΩΩ Eje-X Eje-Y Eje-Z Plano de la órbita → r Pericentro Nodo ω v i i Plano de referencia → n w • m 146 § 7.3 Desarrollo de la función perturbadora en serie de potencias de e y e´. jiK = )´a,a(F Es decir, una función de a y a´ para cada 2η . Analicemos que clase de función es. Para ello examinemos los coeficientes iA , iB , iC ,…, los cuales son funciones homogéneas respecto de los elementos a y a´, de grado menos uno (−1); también lo son los coeficientes iM , iN y iP ; entonces podemos escribir, )´ak,ak(F = k 1 )´a,a(F En efecto, un coeficiente cualquiera, por ejemplo iB es función, como vimos anteriormente, de a y a´; entonces, qué sucede matemáticamente si reemplazamos en la expresión (7.6), a por k a y a´ por k a´, se tiene k a k a´ [ ] 2 3−22222 cos´aak2´akak − θ−+ = ∑∞∞−=i2 1 iB )´ak,ak( cos i θ donde θ = l´ − λ; luego de simplificar e igualar coeficientes, resulta: )´ak,ak(B i = k 1)´a,a(B i Como se quería demostrar. El siguiente paso consiste en desarrollar la expresión: F [ ])´x1(´a,)x1(a ++ de la siguiente forma: F [ ])´x1(´a,)x1(a ++ = )´x1( 1 + F       + + ´a,a ´x1 x1 = )´x1( 1 + F       + − + ´a, )´x1( )´xx( aa por simplicidad hacemos (1 + x´) = k, y definimos una cantidad h = a ´x1 ´xx + − ; entonces, la expresión anterior toma la forma: )´x1( 1 + F ( a + h, a´ ), la cual se puede desarrollar en serie de potencias de la variable h, que tiende a cero si e = e´= 0. Luego, el desarrollo en serie de Taylor es el siguiente: )´x1( 1 + F       + − + ´a, )´x1( )´xx( aa = )´x1( 1 +         + ∂ ∂       + − + ∂ ∂ + − + ... a F ´x1 ´xx a !2 1 a F ´x1 ´xx a)́a,a(F 2 22 2 Además, si definimos el primer miembro de esta igualdad por )´r,r(K ji y desarrollados la suma del segundo miembro se tiene, )´r,r(K ji = )´x1( )´a,a(F + + 2)´x1( )´xx( a + − a F ∂ ∂ + 3 2 2 )´x1( )´xx( a 2 1 + − 2 2 a F ∂ ∂ + . . . § 7.3 Desarrollo de la función perturbadora en serie de potencias de e y e´. 1 Recordar que nos interesa estudiar el caso en que la anomalía verdadera es igual a la anomalía media más un término correctivo debido a que la excentricidad no es nula entonces: v = l + y. 147 Para abreviar la notación definimos: )0( ji K = )´a,a(F , )1( ji K = a )´a,a(F !1 a ∂ ∂ , . . . , )n( ji K = n nn a )´a,a(F !n a ∂ ∂ . entonces, el desarrollo en serie anterior se puede escribir de la siguiente forma: )´r,r(K ji = ∑ ∞ = ++ − 0n 1n n )´x1( )´xx( )n( ji K donde los coeficientes )n( ji K sólo dependen de a, de Mi , Ni , Pi , etc.; luego la parte principal de la función perturbadora, ecuación (7.4), admite el siguiente desarrollo ∆ 1 = ∑ )n( ji K 1n n )´x1( )´xx( +− − [ ]yj´yi´)ji(jĺicos −+τ−−λ− Además, para simplificar, definimos D = i l´− j λ − (i – j) τ´, entonces ∆ 1 toma la forma 1 : ∆ 1 = ∑       ν )n( ji K n 1n n )´x1( ´xx + νν− − [ ]yj´yiDcos −+ Desarrollando la función coseno resulta ∆ 1 = ∑       ν )n( ji K n 1n n )´x1( ´xx + νν− − [ ]Dsen)yj´yi(senDcos)yj´yi(cos −−− Luego, ∆ 1 =