A = 2 8 3 u π c) x = 2 a Cost – a Cos 2t , y = 2 a Sent - a Sen 2t t = 0  (a, 0) t = π  (- 3a, 0) A = ∫ π 0 (2 Sen t – a Sen 2t) (2a Sen t – 2a Sen 2t) dt A = ∫ π 0 (4a2 Sen2 t – 4a2 Sen t Sen 2t – 2a2 Sen t Sen 2t + 2a2 Sen2 2t) dt A = 2a2 ∫ π 0 (2 Sen2 t – 3 Sen t Sen 2t + Sen2 2t) dt A = 2a2 ∫ π 0 [ ] dttSentCostCostSen +−− 23 2 3 2 22 A = 2a2 08 4 2 3 2 3 2 2 2 3 π ⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ +− tSentSentSentSent A = 3 π a2 AT = 6 π a2 u2 2.- Hallar el área A de las regiones encerradas por los lazos de las curvas: a) x = 3t2 , y = 3t - t3 Solución: El punto múltiple séria el (9,0) para t = 3,3 −=+ t A = ∫ − 3 3 (3 t – t3 ) (6t dt) A = 3 3 5 3 5 6 6 − ⃷⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ − t t A = 36 5 3108 3 − A = 2 5 372 u⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ b) x = t + t2 , y = t3 – 3t Solución: El punto múltiple seria el (2,-2) para t = -2, t = 1 A = ∫ +− 1 2 3 )21()3( dtttt A = 2 1 3524 3 6 5 2 2 3 4 − ⃷⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ −+− tttt A = 2 20 81 u⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ c) x = t - t2 , y = t3 - 3t Solución: El punto múltiple seria el (2,2) para t = -1, t =2 A = ( ) ( )∫ − −− 2 1 3 213 dtttt A = ( )∫ − +− 2 1 243 623 dttttt A = 2 1 3524 3 6 5 2 2 3 4 − ⃷⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ +−− tttt A = 2 20 81 u⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ d) x = t3 – t , y = t + t2 Solucion : El punto múltiple seria el (0,0) para t = -1, t = 0 A = ( ) ( )∫ − −+ 0 1 22 131 dttt A = ( )∫ − ++−− 0 1 432 33 dttttt A = 0 1 5432 5 3 4 3 32 − ⃷⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ ++−− tttt A = 2 60 1 u⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ 3.- Hallar el área A de la región encerrada por las curvas: b) x = Cos3 t, y = Cos2 t Sen t Solucion: El punto múltiple seria el (0,0) para t = 2, 2 π π =− t A = ∫ − − 2 2 π π (Cos2 t Sent)(-3 Cos2 t Sen t) dt A = ∫ − 2 2 3 π π (Cos4 t Sen 2 t) dt A = ∫ − 2 2 4 3 π π (1 + Cos2t)2(1 – Cos 2t) dt A = ∫ − 2 2 4 3 π π (1 + Cos2t - Cos2 2t - Cos3 2t) dt A = 4 3 2 2 3 6 2 8 4 2 π π −⃷⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ ++ tSentSent A = ⃷ ⃸ ⃶ ⃧ ⃨ ⃦ 2 8 3 u π