Probabilidad y Estadística Tarea 4

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Universidad de Guanajuato 
Campus Guanajuato 
División de Ciencias Naturales y Exactas 
Licenciatura en Ingeniería Química 
 
 
Probabilidad y Estadística 
Tarea 4 
 
Valdivia Hernández Alejandro 
NUA: 434446 
 
 
 
 
 
Guanajuato, Gto., 28 de noviembre de 2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 1 
Sea X una variable aleatoria que represente el número de CD’s de jazz entre los 4 CD´s seleccionados 
de la colección. Dado que hay 5 CD´s de jazz en la colección de 10 CD´s y estamos seleccionando 4 
CD´s, la variable X puede asumir valores de 0,1,2,3 y 4. 
El número total de elecciones que se pueden hacer es: 
(
10
4
) 
ya que estamos eligiendo unos 4 CD’s de la colección de 10. 
Después, si nuestra elección contiene x CD’s de jazz, también contiene 4 − 𝑥 CD’s que no son de 
jazz, por cada 𝑥 𝜖 {0,1,2,3,4}. 
Los CD’s de x jazz podrían haber sido seleccionados de (
5
𝑥
) formas, ya que hay CD’s de jazz en la 
colección. De manera similar, los CD’s que no son de jazz 4 − 𝑥 podrían haber sido seleccionados 
en (
5
4 − 𝑥
) formas, porque también hay 5 CD’s que no son de jazz en la colección. 
Cuando se divide con el número total de formas de hacer una selección, obtenemos la fórmula de 
distribución de probabilidad: 
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
(
5
𝑥
) ∗ (
5
4 − 𝑥
)
(
10
4
)
 
Problema 2 
a) 
𝑃(𝑋 < 1.2) = ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ (2 − 𝑥)𝑑𝑥
1.2
1
1
0
 
 
𝑃(𝑋 < 1.2) =
1
2
𝑥2|0
1 + (2𝑥 −
1
2
𝑥2)|
1
1.2
 
 
𝑃(𝑋 < 1.2) = 0.68 
 
b) 
𝑃(0.5 < 𝑋 < 1) = ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
0.5
 
 
𝑃(0.5 < 𝑋 < 1) =
1
2
𝑥2|0.5
1 
 
𝑃(0.5 < 𝑋 < 1) = 0.375 
 
 
 
c) Promedio 
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
 
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 ∗ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥(2 − 𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥3
3
|
0
1
+
2𝑥2
2
−
𝑥3
3
|
1
22
1
1
0
 
 
𝐸(𝑥) =
1
3
+ (22 −
23
3
) − (12 −
13
3
) = 1 
 
∴ 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑎ñ𝑜 = 100 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Varianza 
𝐸(𝑥2) = ∫ 𝑥 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2(2 − 𝑥)𝑑𝑥 =
1
4
𝑥4|
0
12
1
+ (
2
3
𝑥3 −
1
4
𝑥4)|
1
2
 
1
0
∞
−∞
 
 
=
1
4
+ (
16
3
− 4) − (
2
3
−
1
4
) =
7
6
 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − 𝐸(𝑥) =
7
6
− 1 =
1
6
∗ 100 = 16.6666 
 
∴ 𝐿𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑠16.67 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Problema 3 
a) 
x 1 2 3 
px(x) 0.1 0.35 0.55 
b) 
y 1 2 3 
py(y) 0.2 0.5 0.3 
 
c) 𝑃(𝑌 = 3 / 𝑋 = 2) 
 
𝑃(𝑌 / 𝑋) =
𝑝(𝑥. 𝑦)
𝑝𝑥(𝑥)
 , 𝑃(𝑌 / 𝑋 = 2) =
𝑝(2. 𝑦)
𝑝𝑥(2)
 
 
𝑝(2.1)
𝑝𝑥(2)
=
0.05
0.35
= 0.1428 ,
𝑝(2.2)
𝑝𝑥(2)
=
0.1
0.35
= 0.2857 ,
𝑝(2.3)
𝑝𝑥(2)
=
0.2
0.35
= 0.5715 
 
y 1 2 3 
p(y/x=2) 0.1428 0.2857 0.5715 
 
𝑃(𝑌 = 3 / 𝑋 = 2) = 0.5715 
 
Problema 4 
a) 
𝑔(𝑦, 𝑧) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 = ∫
4𝑥𝑦𝑧2
9
𝑑𝑥 =
2𝑥2𝑦𝑧2
9
|
0
1
=
2𝑦𝑧2 ∗ 12
9
−
2𝑦𝑧2 ∗ 02
9
=
2𝑦𝑧2
9
1
0𝑥
 
 
b) 
ℎ(𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥 = ∫ ∫
4𝑥𝑦𝑧2
9
𝑑𝑧𝑑𝑥 = ∫
4𝑥𝑦𝑧2
27
|
0
3
𝑑𝑥
1
0
3
0
1
0𝑧𝑥
 
 
= ∫ (
4𝑥𝑦 ∗ 32
27
−
4𝑥𝑦 ∗ 32
27
) 𝑑𝑥 =
1
0
∫ 4𝑥𝑦𝑑𝑥 = 2𝑥2𝑦|0
1𝑑𝑥 = 2𝑦
1
0
 
c) 
𝑃 (
1
4
< 𝑋 <
1
2
, 𝑌 >
1
3
, 1 < 𝑍 < 2) = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
2
1
∞
1/3
1/2
1/4
 
 
= ∫ ∫ ∫
4𝑥𝑦𝑧2
9
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
2
1
1
1/3
1/2
1/4
= ∫ ∫
4𝑥𝑦𝑧3
27
|
1
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
1
1/3
1/2
1/4
 
 
= ∫ ∫ (
4𝑥𝑦 ∗ 23
27
−
4𝑥𝑦 ∗ 13
27
) 𝑑𝑦𝑑𝑥
1
1/3
1/2
1/4
= ∫ ∫
28𝑥𝑦
27
𝑑𝑦𝑑𝑥
1
1/3
1/2
1/4
 
 
= ∫
14𝑥𝑦2
27
|
1/3
1
𝑑𝑥 = ∫ (
14𝑥 ∗ 12
27
−
14𝑥 ∗ (
1
3)
3
27
) 𝑑𝑥 = ∫ (
14𝑥
27
−
14𝑥
243
) 𝑑𝑥
1/2
1/4
1/2
1/4
1/2
1/4
 
 
∫
112𝑥
243
𝑑𝑥 =
56𝑥2
243
|
1
21/2
1/4
=
56 ∗
1
2
2
243
−
56 ∗
1
4
2
243
=
14
243
−
7
486
=
7
162
 
 
d) 
𝑃(𝑋 = 𝑥|𝑌 = 𝑦, 𝑍 = 𝑧) = 𝑓(𝑥|𝑦, 𝑧) =
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑔(𝑦, 𝑧)
 
𝑃 (0 < 𝑋 <
1
2
|𝑌 =
1
4
, 𝑍 = 2) = ∫ 𝑓(𝑥 |
1
4
, 2)𝑑𝑥 =
1/2
0
∫
𝑓(𝑥.
1
4 , 2)
𝑔 (
1
4 , 2)
𝑑𝑥
1/2
0
 
= ∫
4𝑥 ∗
1
4 ∗ 2
2
9
2 ∗
1
4 ∗ 2
2
9
𝑑𝑥 =
1/2
0
∫ 2𝑥𝑑𝑥 =
1/2
0
𝑥2|0
1
2 = (
1
2
)
2
− 02 =
1
4
 
Problema 5 
Se espera que por cada 10 metros de tela se encuentre un defecto. 
𝜎 = √∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2 ∗ 𝑝( 𝑥𝑖) 
= √(0 − 1)2(0.41) + (1 − 1)2(0.37) + (2 − 1)2(0.16) + (3 − 1)2(0.05) + (4 − 1)2(0.01) 
= 0.9274 
𝜎2 = 0.86007