Tema 15 - Tanto por ciento

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37SAN MARCOS ARITMÉTICA TEMA 15
ARITMÉTICA
TEMA 15
TANTO POR CIENTO
DESARROLLO DEL TEMA
I. INTRODUCCIÓN
	 La	expresión	".....	por	ciento"	es	derivada	de	la	expresión	
latina “......per centum”, apareciendo en las principales 
obras	de	aritmética	en	la	Italia	del	siglo	XV	y	su	signo	
(%) fue fruto de una sucesiva mutilación a través de los 
tiempos, de la abreviatura de 100 (cto); apareciendo éste 
en un libro de comercio y ciencias mercantiles en el año 
1685.
II. DEFINICIÓN
 El tanto por ciento viene a ser o una, o varias, de las cien 
partes	en	 las	cuales	se	divide	una	cierta	cantidad.	Por	
ejemplo,	si	decimos	que	el	10%	de	100	es	igual	a	10;	es	
porque éste se sustenta en el hecho de que al número 
100	se	le	dividen	en	100	partes	regulares	(perfectamente	
iguales),	 de	manera	 tal	 que	 se	 consideran	 de	 dichas	
partes a unas diez. Las partes que se pueden considerar 
respecto de una determinada cantidad pueden ser tanto 
como fraccionarias.
 Notación: 
= A%
A
100
 
	 Si	a%	de	b	es	igual	a	c	:		a%b	=	c	⇔ a
100
(b) = c
III. PORCENTAJE
 Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una 
determinada cantidad.
A. Operaciones con porcentajes
1. Sumas y/o restas
 
a% ± b% = (a ± b)%
a% de N ± b% de N = (a ± b)% de N
N = 100%N
2. Producto
a%	x	b%	=								x									=								%
a
100
b
100
ab
100
IV. DESCUENTO SUCESIVO
 Si tenemos 2 descuentos sucesivos del a % más el b % 
se	verifica	que	el	descuento	único	(DU)	equivalente	será:
DU = a + b – % 
a.b
100
 
V. AUMENTO SUCESIVO
	 Para	2	aumentos	sucesivos	del	a	%	más	el	b	%	el	aumento	
único	(AU)	equivalente	es:
AU = a + b + % 
a.b
100
VI. ASUNTOS COMERCIALES
	 Una	transacción	comercial	es	el	intercambio	de	bienes	y	
servicios a cambio de dinero que se establece entre dos o 
más personas, de manera que la persona que vende dicho 
bien o dicho servicio puede obtener –como consecuencia 
de	 la	 transacción–	 un	 beneficio	 o	 una	 pérdida	 de	 su	
patrimonio.
	 Para	poder	enfrentar	distintas	situaciones	relacionadas	con	
los asuntos comerciales, es	fundamental	y	suficiente 
el	correcto	conocimiento	de	la	definición	de	porcentaje;	
aunque	también	es	necesario	conocer	las	definiciones	de	
las	relaciones	financieras	dadas	a	continuación:
1. Precio de Venta (Pv): es aquel con el cual se cotiza 
un determinado artículo. Ejem: si en el mercado 
observamos	 que	 el	 kilo	 de	 Azúcar	 cuesta	 S/	 1,50	
entonces	decimos	que	S/	1,50	es	el	precio	de	venta	
del azúcar.
2. Precio de Costo ó de Compra (Pc): es aquel con 
el cual se adquiere un determinado artículo para su 
TANTO POR CIENTO
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PROBLEMAS RESUELTOS
posterior uso. Así por ejemplo, si compramos un costal 
de 10 kilos de arroz a 12 soles, es decir,	S/	1,20	por	
cada kilo de arroz, decimos que 12 es el precio de 
costo por que ese fue el precio establecido para poder 
adquirir dicho producto.
3. Precio Fijado, de Catálogo ó Precio de Lista 
(PL): es el precio determinado en una lista o 
catálogo	de	diversas	compañías	o	establecimientos	
comerciales. Ejemplo: Los precios de una determinada 
marca de zapatillas de vestir en una tienda de ropa.
4.	 Ganancia,	 Beneficio,	 Renta	 o	 Utilidad	 (G):	 
es la cantidad que se obtiene cuando se vende 
cierto elemento a un precio mayor de lo que costo 
originalmente.	Ejemplo:	Si	un	televisor	se	compra	a	
200	dólares	y	luego	se	vende	a	300	dólares,	hablamos	
de una utilidad de 100 dólares.
5. Pérdida (P): es la cantidad que se obtiene cuando 
se vende cierto elemento a un precio menor que lo 
que	costo	originalmente.	Ejemplo:	Si	se	compra	un	
televisor a 300 dólares y se vende en 250 dólares, 
hablamos de una pérdida de 50 dólares.
6. Descuento (dscto; D): Reducción sobre el precio 
de	venta	de	un	artículo,	otorgada	al	comprador.	
Obs.:
1. Se determina al precio de venta como la suma del precio 
de	costo	y	la	ganancia.
 Pv	=	Pc	+	G 			;			donde	Pv	>	Pc
2. Se determina al precio de costo como la suma del precio 
de venta y la pérdida.
 Pc	=	Pv	+	P 			;			donde	Pv	<	Pc
3.	 Se	define	al	precio	de	lista	como	la	suma	del	precio	de	
venta y el descuento.
 PL	=	Pv	+	D 			;			donde	Pv	<	PL
•	 Generalmente	la	G	y	P	son	en	función	de	Pc	y	descuento	
del	PL
G	=	f(Pc)			;			P	=	f(Pc)			;			D	=	f(PL)
Problema 1
Se	 disminuye	 el	 ancho	 de	 un	 afiche	
rectangular	 en	 10%	 y	 el	 largo,	 en	
30%.	¿Qué	porcentaje	del	área	original	
representa	el	área	del	afiche	restante?
NIVEL INTERMEDIO
 UNMSM 2011-II
A)	 45%	 B)	 63%	 C)	 77%	
D)	 70%	 E)	 56%
 
Resolución:
Ancho: A
Largo:	B
Área inicial: 100%a.b
Nuevo	ancho:	90%a
Nuevo	largo:	70%b
Nueva	área:	90%a.70%b	=	63%a.b
Respuesta: 63%
Problema 2
Una	empresa	informática	emplea	a	800	
personas. De ellos, 42% son varones y el 
50% de los varones no tiene más de 30 
años. ¿Cuántos varones de esta manera 
son	mayores	de	30	años?
NIVEL FÁCIL
UNMSM 2007-I
A)	 168	 B)	 173	 C)	 183	
D)	 156	 E)	 178
 
Resolución:
Varones 42%.800 =	36
50%.336	=	168	varones	≤ 30 años
Varones mayores de 30 años: 
336	–	168	=	168
Respuesta: 168
Problema 3
Al	vender	un	objeto	ganando	el	45%	
del	precio	de	costo	se	ganó	210	soles	
más	que	si	se	hubiera	vendido	ganando	
solo el 15% del precio de costo.
¿Cuánto	costó	el	objeto?
NIVEL FÁCIL
UNMSM 2007-II
A)	 S/.	1400	 B)	 S/.	700
C)	 S/.	560	 D)	 S/.	1050
E)	 S/.	840
 
Resolución:
15%	Pc	+ 210 =	45%Pc	
entonces 
201 =	30%	Pc
Pc	= 700 soles
Respuesta: 700