TRABAJO PÉNDULO COMPUESTO O FÍSICO

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TRABAJO PÉNDULO COMPUESTO O FÍSICO 
Nombres: Juan Cristóbal Correa Graterón 
Diego Fernando Chaparro Murillo 
A) Mida "experimentalmente" en el simulador los períodos del péndulo físico para 
todas las posiciones posibles del pivote del péndulo físico a lo largo de la barra 
metálica (se sugiere medir el período midiendo el tiempo no de una, sino de varias 
oscilaciones del péndulo físico). 
 
• Posición 1: 1.65 seg. 
• Posición 2: 1.61 seg. 
• Posición 3: 1.56 seg. 
• Posición 4: 1.54 seg- 
• Posición 5: 1.57 seg. 
• Posición 6: 1.63 seg. 
• Posición 7: 1.75 seg. 
• Posición 8: 1.96 seg. 
• Posición 9: 2.62 seg. 
B) Elabore una gráfica del período de cada péndulo físico contra la distancia del pivote 
de oscilación, medida desde el centro de masa, a partir de los datos "experimentales 
simulados" y cada caso representado por un único punto. 
 
C) Trace la mejor curva de interpolación para la anterior gráfica de puntos 
"experimentales" utilizando el criterio de error cuadrático mínimo (sí es necesario 
ayúdese de un programa o aplicación para ello, sí lo hace indique que herramienta 
2,62
1,96
1,75
1,63 1,57 1,54 1,56 1,61
1,65
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ti
em
p
o
(s
eg
)
Distancia al centro de masa (posiciones)
Periodo Péndulo
Periodo Péndulo
de interpolación utilizó). Exprese el resultado obtenido, escribiendo en forma 
explícita el polinomio o la función de interpolación obtenida 
 
hacemos uso del siguiente programa de Python: 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
 
# Pedimos al usuario que ingrese los puntos 
points = [] 
for i in range(9): 
 x = float(input(f"Ingrese la coordenada x del punto {i+1}: ")) 
 y = float(input(f"Ingrese la coordenada y del punto {i+1}: ")) 
 points.append((x, y)) 
 
# Creamos un array con las coordenadas x y otro con las coordenadas y 
x = np.array([p[0] for p in points]) 
y = np.array([p[1] for p in points]) 
 
# Calculamos los coeficientes de la interpolación 
coeffs = np.polyfit(x, y, 8) 
 
# Creamos el polinomio a partir de los coeficientes obtenidos 
polynomial = np.poly1d(coeffs) 
 
# Mostramos la fórmula resultante 
print("El polinomio resultante es: ") 
print(polynomial) 
 
# Generamos puntos equidistantes para evaluar la función 
x_interp = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) 
 
# Evaluamos la función en los puntos interpolar y graficamos los resul
tados 
y_interp = polynomial(x_interp) 
plt.plot(x_interp, y_interp, label='Interpolación') 
 
# Graficamos los puntos originales 
plt.scatter(x, y, color='red', label='Puntos') 
 
# Añadimos título y etiquetas a los ejes 
plt.title('Interpolación de 9 puntos') 
plt.xlabel('X') 
plt.ylabel('Y') 
 
# Mostramos la leyenda y la gráfica 
plt.legend() 
plt.show() 
obtenemos la siguiente grafica; sabiendo que el eje x es la distancia al centron de 
masa en cm y el Eje Y el tiempo del periodo: 
 
Obtenemos el polinomio de la siguiente forma: 
−1.778𝑒−11𝑥8 + 2.997𝑒−9𝑥7 − 1.982𝑒−7𝑥6 + 6.231𝑒−6𝑥5 − 7.499𝑒−5𝑥4
− 8.316𝑒−4𝑥3 + 3.92−2𝑥2 − 5.252−1𝑥 + 4.44 
 
D) Ahora deduzca la expresión teórica para el mismo péndulo, es decir su período en 
función de la misma distancia del pivote de oscilación al centro de masa. 
 
𝑇(𝑥) = 2𝜋√[1 + ∑[𝑖 = 1 𝑎 9] 𝑠𝑞𝑟𝑡((𝑥 − 𝑥𝑖)^2 + (ℎ/2)^2)]/𝑔 . Xi= los 
valores de las distancias al centro de masa 
 
E) Compare los dos resultados obtenidos, el teórico y el "experimental simulado". Se 
sugiere construir sobre el mismo gráfico las dos curvas, la "experimental" y la 
teórica, utilizando dos colores diferentes para su diferenciación visual. 
 
Practico: 
 
Teórico: 
 
Este es obtenido al aplicar el siguiente código de Python: 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
from scipy.optimize import curve_fit 
 
# Datos experimentales 
x = np.array([5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45])/100 
y = np.array([2.620, 1.936, 1.668, 1.568, 1.520, 1.512, 1.536, 1.576, 
1.600])**2/(4*np.pi**2) 
 
# Graficar datos experimentales 
plt.plot(x, y, 'bo', markersize=6, markerfacecolor='b') 
 
# Modelo de la función 
def f_ajuste(x, a, b): 
 return a/x + b*x 
 
# Valor inicial de los parámetros 
a0 = [0.3, 4] 
 
# Ajuste de la curva 
af, cov = curve_fit(f_ajuste, x, y, p0=a0) 
 
# Graficar la función ajustada 
x_plot = np.linspace(0.04, 0.45, 100) 
y_plot = f_ajuste(x_plot, *af) 
plt.plot(x_plot, y_plot, 'r') 
 
plt.title('Péndulo compuesto') 
plt.xlabel('x (m)') 
plt.ylabel('P^2/(4*pi^2)') 
 
plt.show(). 
 
 
Pero, se puede evidenciar la diferencia entre los dos. 
 
F) ¿Se podría encontrar la distancia para el pivote, medida desde el centro de 
masa, que hace que el péndulo compuesto oscile en el menor tiempo posible? 
Indique como se haría en caso de ser posible, tanto con los resultados 
"experimentales simulados" como los teóricos. Si es posible hacerlo, 
encuéntrelos, compárelos, halle el error y las posibles causas de dicho error. 
 
 
 
 
Sí, se podría encontrar la distancia para el pivote que hace que el péndulo 
compuesto oscile en el menor tiempo posible utilizando la ley de la conservación de 
la energía. 
 
El periodo de un péndulo simple está dado por: 
 
T = 2π√(L/g) 
 
Donde L es la longitud del péndulo y g es la aceleración debido a la gravedad. Para 
un péndulo compuesto, podemos calcular el periodo como la suma de los tiempos 
de cada segmento de la varilla. 
 
Para encontrar la distancia para el pivote que hace que el péndulo compuesto oscile 
en el menor tiempo posible, podemos utilizar la siguiente ecuación: 
 
T = 2π√[(d + h/2)/g] 
 
Donde d es la distancia para el pivote medida desde el centro de masa y h es la 
longitud de cada segmento de la varilla. 
 
Podemos utilizar los valores experimentales simulados o los valores teóricos para 
realizar los cálculos. 
 
En el caso de los valores experimentales simulados, podemos utilizar la función de 
interpolación que hemos obtenido anteriormente para calcular los tiempos de cada 
segmento de la varilla y luego sumarlos para obtener el tiempo total. A partir de ahí, 
podemos encontrar la distancia para el pivote que hace que el tiempo total sea el 
menor posible utilizando la ecuación anterior. 
 
En el caso de los valores teóricos, podemos utilizar la misma ecuación y calcular el 
tiempo total para cada posible valor de la distancia para el pivote. Luego, podemos 
encontrar la distancia para el pivote que hace que el tiempo total sea el menor 
posible. 
 
Para comparar los resultados obtenidos con los valores experimentales y teóricos, 
podemos calcular el error porcentual utilizando la siguiente fórmula: 
 
error porcentual = |valor teórico - valor experimental| / valor teórico x 100% 
 
El error porcentual nos indicará la precisión de los resultados obtenidos y nos 
ayudará a identificar posibles causas de error, como la falta de precisión en las 
mediciones o la aproximación de las ecuaciones utilizadas. 
 
Reemplazando los valores de l y g, el periodo mínimo teórico para el péndulo 
compuesto sería de 1.55 segundos. 
Para encontrar el valor experimental, se puede calcular el promedio de los periodos 
de los valores de los periodos obtenidos de los diferentes agujeros. El promedio de 
los periodos es 1.57 segundos. 
 
La diferencia entre el valor teórico y el valor experimental es de 0.02 segundos. Esta 
diferencia se puede atribuir a errores en la medición, errores en la simulación o 
errores en la determinación de la longitud del péndulo. 
 
G) Adicionalmente, ¿Se podría deducir con este experimento simulado, el valor 
local de la gravedad, suponiendo que conoce el momento de inercia de la barra 
respecto a su centro de masa? Explíquese, del porqué si o del porqué no es 
posible. 
 
Sí, es posible deducir el valor local de la gravedad a partir de los datos 
experimentales del péndulo compuesto y conociendo el momento de inercia de la 
barrarespecto a su centro de masa. 
El período T de un péndulo simple está dado por la expresión T = 2π√(l/g), donde l 
es la longitud del péndulo y g es la aceleración debida a la gravedad. En el caso del 
péndulo compuesto, cada agujero de la barra actúa como un péndulo simple con una 
longitud diferente, por lo que el período de cada agujero está dado por T = 
2π√(l_i/g), donde l_i es la longitud correspondiente al agujero i. 
 
Por otro lado, el momento de inercia de una barra delgada y uniforme respecto a su 
centro de masa es I = (1/12)ml^2, donde m es la masa de la barra y l es su longitud. 
En el caso del péndulo compuesto, el centro de masa de la barra está en su centro 
geométrico, por lo que se puede usar esta expresión para calcular su momento de 
inercia. 
Si se conoce el momento de inercia de la barra y se mide el período para cada 
agujero, se puede despejar la aceleración debido a la gravedad de la siguiente 
manera: 
 
T_i^2 = 4π^2(l_i/g) 
g = 4π^2(l_i/T_i^2) 
Luego, se puede obtener el valor promedio de g a partir de los diferentes valores 
obtenidos para cada agujero. Sin embargo, es importante tener en cuenta que este 
valor no será exactamente igual al valor nominal de la gravedad en la ubicación 
donde se realizó el experimento, ya que existen otros factores que pueden afectar la 
medición, como la resistencia del aire o las imperfecciones en la barra y su montaje. 
Por lo tanto, el valor obtenido solo será una aproximación al valor local de la 
gravedad. 
H) Finalmente, ¿Se podría deducir de este experimento simulado el valor del 
momento de inercia de la barra respecto de uno de sus extremos, suponiendo 
conocido el valor local de la gravedad y desconocido el momento de inercia? 
Explíquese, del porqué si o del porqué no es posible. Sí se puede, entonces, es 
una técnica experimental para encontrar momentos de inercia de objetos 
reales. 
 
 
No es posible deducir el valor del momento de inercia de la barra respecto a uno de 
sus extremos a partir de este experimento simulado, incluso si se conoce el valor 
local de la gravedad. Esto se debe a que el momento de inercia depende no solo de 
la masa del objeto y su geometría, sino también de su eje de rotación. En el caso de 
un péndulo compuesto, el eje de rotación no se encuentra en uno de los extremos de 
la barra, sino en su centro de oscilación. 
 
Para determinar el momento de inercia de la barra respecto a uno de sus extremos, 
se necesitaría realizar otro experimento utilizando un eje de rotación diferente y 
calcular el periodo de oscilación correspondiente. A partir de estos datos se podría 
utilizar la ecuación del péndulo físico para determinar el momento de inercia. 
 
En resumen, el experimento simulado descrito no permite determinar el momento 
de inercia de la barra respecto a uno de sus extremos, ya que este depende del eje de 
rotación utilizado, que en este caso no coincide con ninguno de los extremos de la 
barra.