Funciones Elementales Cálculo Diferencial e Integral

Vista previa del material en texto

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
77 
 
Funciones Elementales 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Funciones Elementales 
 
1. Funciones Polinomiales, son de la forma: 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛, con 𝑛 ∈ 𝒁 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝛼𝑥
𝛼
𝑛
𝛼=0
 
2. Funciones Racionales, son de la forma: 
𝑓(𝑥) =
𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛
𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥
2 + 𝑏3𝑥
3 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥
𝑚
= 
∑ 𝑎𝛼𝑥
𝛼𝑛
𝛼=0
∑ 𝑏𝛽𝑥
𝛽𝑚
𝛽=0
 
 
 
 Una función racional es un cociente de funciones polinomiales. 
 
3. Funciones trigonométricas: 
 𝑆𝑒𝑛 𝑥, 𝐶𝑜𝑠 𝑥, 𝑇𝑎𝑛 𝑥, 𝐶𝑜𝑡 𝑥, 𝑆𝑒𝑐 𝑥, 𝐶𝑠𝑐 𝑥. 
 
4. Funciones hiperbólicas: 
 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥, 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥, 𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑥, 𝐶𝑜𝑡ℎ 𝑥, 𝑆𝑒𝑐ℎ 𝑥, 𝐶𝑠𝑐ℎ 𝑥. 
 
5. Funciones logarítmicas: 
 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥 
 
6. Función exponencial: 
 ex 
 
7. Funciones trigonométricas inversas: 
 𝑆𝑒𝑛−1 𝑥, 𝐶𝑜𝑠−1𝑥, 𝑇𝑎𝑛−1𝑥, 𝐶𝑜𝑡−1 𝑥, 𝑆𝑒𝑐−1 𝑥, 𝐶𝑠𝑐−1𝑥. 
 
8. Funciones hiperbólicas inversas: 
 𝑆𝑒𝑛ℎ−1 𝑥, 𝐶𝑜𝑠ℎ−1𝑥, 𝑇𝑎𝑛ℎ−1𝑥, 𝐶𝑜𝑡ℎ−1 𝑥, 𝑆𝑒𝑐ℎ−1 𝑥, 𝐶𝑠𝑐ℎ−1𝑥. 
 
9. Función Potencia: 
 𝑥𝑛 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
78 
 
Funciones Elementales 
Fecha: _______________ 
 
 
Funciones polinomiales 
Algunas funciones polinoliales son: 
𝑓(𝑥) = −𝜋𝑥 + 3 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 0.2 𝑥 + 7 
𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 1 
 
 
𝑓(𝑥) = 2 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) = −1 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 3 
 
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
79 
 
Funciones Elementales 
Fecha: _______________ 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 2 
 
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 
 
 
Funciones Racionales 
 
Funciones racionales: (cociente de funciones polinomiales). 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
 
 𝑔(𝑥) =
𝑥
𝑥2 + 3
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
80 
 
Funciones Elementales 
Fecha: _______________ 
 
 
 
 
ℎ(𝑥) =
𝑥3 − 𝑥
𝑥 + 1
 
 
 
 
 
 
𝑟(𝑥) =
4𝑥4 − 5𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
 
 
 
Funciones Exponenciales 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑒3𝑥 
 
 
 𝑓(𝑥) = −5𝑒−3𝑥 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
81 
 
Funciones Elementales 
Fecha: _______________ 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 4𝑒2𝑥−3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones Logarítmicas 
 
 
𝑓(𝑥) = 4𝐿𝑛 5𝑥 ; 
ℎ(𝑥) =
𝐿𝑛 5𝑥
𝐿𝑛 6𝑥
 
 
𝑔(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
82 
 
Funciones Elementales 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Funciones potencia 
 
𝑓(𝑥) = −3𝑥3; 𝑓(𝑥) = 𝑥4; 𝑓(𝑥) = 𝑥−8 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
83 
 
Funciones Trigonométricas 
Fecha: _______________ 
 
 
Funciones Trigonométricas 
Funciones trigonométricas con argumento real 𝜃 en términos de funciones exponenciales con argumento complejo 𝜃 
Funciones trigonométricas con argumento real 𝜃 en términos de funciones trigonométricas con argumento real 𝜃 
1 𝑓(𝜃) = 𝑆𝑒𝑛 𝜃 Regla de correspondencia 
 
𝑓(𝜃) = 𝑆𝑒𝑛 𝜃 
Contradominio de la función 
 
 
 
 
 
 
Dominio de la función 
 
 
 
Gráfica de la función (construirla en radianes). 
 
 
2 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 Regla de correspondencia 
 
 
Contradominio de la función 
 
 
 
 Dominio de la función 
 
 
 
Gráfica de la función (construirla en radianes). 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
84 
 
Funciones Trigonométricas 
Fecha: _______________ 
 
 
3 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑎𝑛 𝜃 Regla de correspondencia 
 
 
Contradominio de la función 
 
 
 
 Dominio de la función 
 
 
 
Gráfica de la función (construirla en radianes). 
 
 
4 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑜𝑡 𝜃 Regla de correspondencia 
 
 
Contradominio de la función 
 
 
 
 Dominio de la función 
 
 
 
Gráfica de la función (construirla en radianes). 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
85 
 
Funciones Trigonométricas 
Fecha: _______________ 
 
 
5 𝑓(𝜃) = 𝑆𝑒𝑐 𝜃 Regla de correspondencia 
 
 
Contradominio de la función 
 
 
 
 Dominio de la función 
 
 
 
Gráfica de la función (construirla en radianes). 
 
 
6 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑠𝑐 𝜃 Regla de correspondencia 
 
 
Contradominio de la función 
 
 
 
 Dominio de la función 
 
 
 
Gráfica de la función (construirla en radianes). 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
86 
 
Funciones Trigonométricas 
Fecha: _______________ 
 
 
Funciones trigonométricas con argumento real 𝜃 , expresadas en términos de funciones exponenciales con argumento 
complejo (𝑖𝜃)𝑦 (−𝑖𝜃). 
La herramienta a utilizar es: 𝑒𝑖𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜃 ..(1) 𝑒−𝑖𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜃 …(2) 
 Función Operaciones 
1 𝑓(𝜃) = 𝑆𝑒𝑛 𝜃 Para obtener la función Seno realizamos: (1) – (2) 
 
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜃 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜃 
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃 = 2𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜃 
 
Despejamos 𝑆𝑒𝑛 𝜃 =
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
 …..(A) 
 
 
𝑆𝑒𝑛 𝜃 =
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
 
 
2 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 Para obtener la función coseno realizamos: (1) + (2) 
 
𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜃 
𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃 = 2𝐶𝑜𝑠 𝜃 
 
Despejamos 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2
 ….(B) 
 
 
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2
 
3 𝑓(𝜃) = 𝑇𝑎𝑛 𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑜𝑡 𝜃 Para obtener la función Cotangente sustituimos (A) y (B) 
 
𝐶𝑜𝑡 𝜃 =
𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑆𝑒𝑛 𝜃
 
 
𝐶𝑜𝑡 𝜃 =
𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
= 
2𝑖 (𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃)
2(𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃)
= 2 
1
2
 𝑖 (
 𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
(𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃)
) 
 
𝐶𝑜𝑡 𝜃 = 𝑖 ( 
 𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
) 
 
 
 
 
 
 
𝐶𝑜𝑡 𝜃 = 𝑖 ( 
 𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
) 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
87 
 
5 𝑓(𝜃) = 𝑆𝑒𝑐 𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
6 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑠𝑐 𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
88 
 
Funciones Trigonométricas 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Funciones trigonométricas parese impares. Identidades trigonométricas con argumento real (−𝜃) . 
Identificar cuales funciones trigonométricas son pares y cuales son impares. La herramienta a utilizar es: 
 𝑆𝑒𝑛 𝜃 =
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
..(1) 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2
…(2) 
 Función Operaciones 
1 𝑓(−𝜃) = 𝑆𝑒𝑛 (−𝜃) Calculamos 𝑆𝑒𝑛 (−𝜃), de (1) tenemos: 
𝑆𝑒𝑛 (−𝜃) =
𝑒𝑖(−𝜃)−𝑒−𝑖(−𝜃)
2𝑖
=
𝑒−𝑖𝜃−𝑒𝑖𝜃
2𝑖
=
−𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
=
−(𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃)
2𝑖
= − (
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
) 
𝑆𝑒𝑛 (−𝜃) = −𝑆𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝑆𝑒𝑛 (−𝜃) = −𝑆𝑒𝑛 𝜃 
La función Seno es una 
función impar 
 
2 𝑓(−𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 (− 𝜃) Calculamos 𝐶𝑜𝑠 (−𝜃), de (1) tenemos: 
𝐶𝑜𝑠 (−𝜃) =
𝑒𝑖(−𝜃)+𝑒−𝑖(−𝜃)
2
=
𝑒−𝑖𝜃+𝑒𝑖𝜃
2
=
𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2
 
𝐶𝑜𝑠 (−𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 
 
 
𝐶𝑜𝑠 (−𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃 
La función Coseno es una 
función par 
3 𝑓(−𝜃) = 𝑇𝑎𝑛 (−𝜃) 
 
 
 
 
 
 
 
4 𝑓(−𝜃) = 𝐶𝑜𝑡 (− 𝜃) Sabemos que: 
𝐶𝑜𝑡 𝜃 = 𝑖 ( 
 𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
) 
 
𝐶𝑜𝑡 (−𝜃) = 𝑖 ( 
 𝑒𝑖(−𝜃)+𝑒−𝑖(−𝜃)
𝑒𝑖(−𝜃)−𝑒−𝑖(−𝜃)
) = 𝑖 ( 
 𝑒−𝑖𝜃+𝑒𝑖𝜃
𝑒−𝑖𝜃−𝑒𝑖𝜃
) 
 
𝐶𝑜𝑡 (−𝜃) = 𝑖 ( 
 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
−𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
) = 𝑖 ( 
 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
−(𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃)
) 
𝐶𝑜𝑡 (−𝜃) = −𝑖 ( 
 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃
) 
𝐶𝑜𝑡 (−𝜃) = −𝐶𝑜𝑡 𝜃 
 
𝐶𝑜𝑡 (−𝜃) = −𝐶𝑜𝑡 𝜃 
La función Cotangente es 
una función impar 
 
5 𝑓(−𝜃) = 𝑆𝑒𝑐 (−𝜃) 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
89 
 
 
 
6 𝑓(−𝜃) = 𝐶𝑠𝑐 (−𝜃) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
90 
 
Funciones Hiperbólicas 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Definición de funciones hiperbólicas con argumento real (𝜃) . 
 Identidad Condición 
1 
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
2
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
2
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 =
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃
 
Si 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
4 
𝐶𝑜𝑡ℎ 𝜃 =
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃
 
Si 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
5 
𝑆𝑒𝑐ℎ 𝜃 =
1
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃
 
Si 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
6 
𝐶𝑠𝑐ℎ 𝜃 =
1
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃
 
Si 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
91 
 
Funciones Hiperbólicas 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Funciones hiperbólicas con argumento real (𝜃) expresadas en términos de funciones exponenciales con argumento real 
(𝜃). 
 Identidad Operaciones Funciones exponenciales con 
argumento real (𝜃) 
1 
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
2
 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃−𝑒−𝜃
2
 … (A) 
 
 
 
 
 
 
2 
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
2
 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃+𝑒−𝜃
2
 … (B) 
 
 
 
 
 
3 
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 =
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃
 
Sabemos que: 
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 =
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃
 
 
Sustituimos (A) y (B) 
 
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
2
 
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
2
 
= 
2(𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃)
2(𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃)
= 
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
 
 
 
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 =
2(𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃)
2(𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃)
= 2 
1
2
( 
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
) 
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
 
 
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
 
4 
𝐶𝑜𝑡ℎ 𝜃 =
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
𝑆𝑒𝑐ℎ 𝜃 =
1
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
92 
 
6 
𝐶𝑠𝑐ℎ 𝜃 =
1
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
93 
 
Funciones Hiperbólicas 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Funciones hiperbólicas pares e impares. Identidades hiperbólicas con argumento real (−𝜃) . 
Identificar cuales funciones hiperbólicas son pares y cuales son impares. 
 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃−𝑒−𝜃
2
 ….1 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃+𝑒−𝜃
2
 …(2) 
 Función Operaciones 
1 𝑆𝑒𝑛ℎ (−𝜃) Calculamos 𝑆𝑒𝑛ℎ (−𝜃), de (1) tenemos: 
𝑆𝑒𝑛ℎ (−𝜃) =
𝑒(−𝜃)−𝑒−(−𝜃)
2
=
𝑒−𝜃−𝑒𝜃
2
=
−𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
2
= − (
𝑒𝜃−𝑒−𝜃
2
) = −𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 
 
𝑆𝑒𝑛ℎ (−𝜃) = −𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 
 
 
𝑆𝑒𝑛ℎ (−𝜃) = −𝑆𝑒𝑛ℎ 𝜃 
La función Seno 
hiperbólico es una función 
impar 
 
2 𝐶𝑜𝑠ℎ (− 𝜃) Calculamos 𝐶𝑜𝑠ℎ (−𝜃), de (1) tenemos: 
𝐶𝑜𝑠ℎ (−𝜃) =
𝑒(−𝜃)+𝑒−(−𝜃)
2
=
𝑒−𝜃+𝑒𝜃
2
= 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 
 
𝐶𝑜𝑠ℎ (−𝜃) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 
 
𝐶𝑜𝑠ℎ (−𝜃) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝜃 
La función Coseno 
hiperbólico es una función 
par 
 
3 𝑇𝑎𝑛ℎ (−𝜃) Sabemos que: 𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 =
𝑒𝜃−𝑒−𝜃
𝑒𝜃+𝑒−𝜃
 
 
Calculamos: 
𝑇𝑎𝑛ℎ (− 𝜃) =
𝑒−𝜃 − 𝑒−(−𝜃)
𝑒−𝜃 + 𝑒−(−𝜃)
=
𝑒−𝜃 − 𝑒𝜃
𝑒−𝜃 + 𝑒𝜃
=
−𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
𝑒−𝜃 + 𝑒𝜃
 
 
𝑇𝑎𝑛ℎ (− 𝜃) =
−(𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃)
𝑒−𝜃 + 𝑒𝜃
= − (
𝑒𝜃 − 𝑒−𝜃
𝑒−𝜃 + 𝑒𝜃
) = −𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 
 
 
𝑇𝑎𝑛ℎ (−𝜃) = −𝑇𝑎𝑛ℎ 𝜃 
La función Tangente 
hiperbólica es una función 
impar 
 
4 𝐶𝑜𝑡ℎ (− 𝜃) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 𝑆𝑒𝑐ℎ (−𝜃) 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
94 
 
 
 
 
6 𝐶𝑠𝑐ℎ (−𝜃) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
95 
 
Tarea de identidades 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Tarea 10 
Tarea de Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas 
 
Demostrar las siguientes identidades para las funciones trigonométricas con argumento real (𝜃). 
 
1. 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 + 𝐶𝑜𝑠2 𝜃 = 1 
 
2. 𝑆𝑒𝑛(𝜃1±𝜃2) = 𝑆𝑒𝑛𝜃1𝐶𝑜𝑠𝜃2 ± 𝑆𝑒𝑛𝜃2𝐶𝑜𝑠𝜃1 
 
3. 𝐶𝑜𝑠(𝜃1±𝜃2) = 𝐶𝑜𝑠𝜃1𝐶𝑜𝑠𝜃2 ∓ 𝑆𝑒𝑛𝜃2𝑆𝑒𝑛𝜃1 
 
 
4. 𝑆𝑒𝑐2 𝜃 − 𝑇𝑎𝑛2 𝜃 = 1 
 
5. 𝐶𝑠𝑐2 𝜃 − 𝐶𝑜𝑡2 𝜃 = 1 
 
Demostrar las siguientes identidades para las funciones hiperbólicas con argumento real (𝜃). 
6. 𝐶𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 = 1 
7. 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝜃1±𝜃2) = 𝑆𝑒𝑛ℎ𝜃1𝐶𝑜𝑠ℎ𝜃2 ± 𝑆𝑒𝑛ℎ𝜃2𝐶𝑜𝑠ℎ𝜃1 
8. 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝜃1±𝜃2) = 𝐶𝑜𝑠ℎ𝜃1𝐶𝑜𝑠ℎ𝜃2 ± 𝑆𝑒𝑛ℎ𝜃2𝑆𝑒𝑛ℎ𝜃1 
9. 𝑆𝑒𝑐ℎ2 𝜃 + 𝑇𝑎𝑛ℎ2 𝜃 = 1 
10. 𝐶𝑜𝑡ℎ2 𝜃 − 𝐶𝑠𝑐ℎ2 𝜃 = 1