SEMANA 12-30

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TALLER SEMANA 12- CALCULO VECTORIAL 
INTEGRANTES: -SAMUEL DAVID GONZALEZ RODRIGUEZ. 
-JUAN SEBASTIAN SOCHA. 
-JUAN ESTEBAN MARTINEZ. 
-KEVIN GUZMAN. 
-SARA HERNANDEZ. 
 
Semana 12 
EJERCICIOS 16.1 
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.3 𝑖 − 0.4𝑗 
Todos los vectores en este campo son idénticos, con longitud 0.5 y paralelo a { 3 , −4} 
 
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = −
1
2
𝑖 + (𝑦 − 𝑥)𝑗 
La longitud del vector −
1
2
𝑖 + (𝑦 − 𝑥)𝑗 es √
1
4
+ (𝑦 − 𝑥)2Vectores a lo largo de la línea son 
horizontales con longitud 
1
2
 
 
3. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑦𝑖+𝑥𝑗
√𝑥2+𝑦2
 
la longitud del vector es 1 
 
 
 
 
 
 
4. 𝐹(𝑥 , 𝑦) = 𝑖 
Todos los vectores en este campo son idénticos, con longitud 1 y apuntando en la dirección 
de lo positivo en el eje x 
 
5. 𝐹(𝑥 , 𝑦, 𝑧) = −𝑦 𝑖 
En cada punto (𝑥 , 𝑦, 𝑧) , 𝐹(𝑥 , 𝑦, 𝑧)es un vector de longitud |𝑦|. Para 𝑦 > 0 , todos 
apuntan en la dirección del eje x negativo, mientras que para 𝑦 < 0, todos están en la 
dirección del positivo eje x . En cada plano 𝑦 = 𝑘 todos los vectores son idénticos. 
 
 
6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 sin(𝑥𝑦) 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑗 = (𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) ∗ 𝑦)𝑖 + [𝑦 ∗ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) + sin(𝑥𝑦) ∗ 1]𝑗 
𝑦2 cos(𝑥𝑦) 𝑖 + [𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) + sin(𝑥𝑦)]𝑗 
 7.∫ 𝑦𝑒𝑥𝑑𝑥 + 2𝑒𝑥𝑑𝑦𝑐 = ∫ ∫ 𝑅(2𝑥 − 2𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ (2𝑥 − 2𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
1−𝑦
0
=
4
0 ∫ 𝑦
2 − 2𝑦 + 1
4
0
𝑑𝑦 =
−1/6 
8. ∫ cos 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦𝑐 = ∫ ∫ 𝑅((𝑠𝑒𝑛𝑦)(2𝑥 + 1))𝑑𝐴 = ∫ ∫ ((𝑠𝑒𝑛𝑦)(2𝑥 +
5
0
2
0
1)) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ((𝑥2 + 𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑦
2
0
)|5 − 0𝑑𝑦 =
50𝑠𝑒𝑛5
3
 
9. ∫ 𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑑𝑦𝑐 = ∫ ∫ 𝑅(−3𝑥
2 − 3𝑦2)𝑑𝐴 
= ∫ ∫ (−3𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 3𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃)𝑟 𝑑𝜃𝑑𝑟
2𝜋
0
=
2
0
∫ ∫ (−3𝑟3) 𝑑𝜃𝑑𝑟
2𝜋
0
=
2
0
∫ (
2
0
− 6𝜋𝑟3)𝑑𝑟 = −24𝜋 
10. ∫ 𝐹 ∗ 𝑑𝑟𝑐 = ∫ ∫ 𝑅(2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝐴 = ∫ ∫ (2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 +
4−𝑦
0
2
0
2𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑟 𝑑𝜃𝑑𝑟 = ∫ ∫ (2𝑟2) 𝑑𝑟𝑑𝜃
4−𝑦
0
=
2
0
−
32𝜋
3
 
 
EJERCICIOS 16.2 
1. 
𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 → 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 
∫(𝑥2𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑦 = ∫ [𝑥2(𝑥2) + 𝑠𝑖𝑛𝑥] ∗ 2𝑥𝑑𝑥 = 2 ∫ (𝑥5 + 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
 
= 2 [
1
6
𝑥6 − 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥] 
= 2 [
1
6
𝜋6 + 𝜋 + 0 + 0] =
1
3
𝜋6 + 2𝜋 
2. 
𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2 
𝑐1: 𝑥 = 𝑥 , 𝑦 =
1
2
𝑥 → 𝑑𝑦 =
1
2
𝑑𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 
𝑐2: 𝑥 = 𝑥 , 𝑦 = 3 − 𝑥 → 𝑑𝑦 = −𝑑𝑥 , 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 
∫(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 = ∫ 𝑐1(𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑥
2 𝑑𝑦 + ∫ 𝑐2(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥
2 𝑑𝑦 
= ∫ [𝑥 + 2 (
1
2
𝑥) + 𝑥2 (
1
2
)] 𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 + 2(6 − 𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
3
2
2
0
 
= [𝑥2 +
1
6
 𝑥3] + [6𝑥 −
1
2
𝑥2 −
1
3
𝑥2] =
16
3
− 0 +
9
2
−
22
3
=
5
2
 
3. 
 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
∫ 𝑥2𝑦 𝑑𝑠 = ∫ (𝑐𝑜𝑠𝑡)2(𝑠𝑖𝑛𝑡 )√(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)
2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2
+ (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)
2𝜋
2
0
𝑑𝑡
 
 
= ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 √(−𝑠𝑖𝑛𝑡)2 + (𝑐𝑜𝑠𝑡)2 + (1)2𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 √𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 1𝑑𝑡
𝜋
2
0
𝜋/2
0
 
= √2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 = √2
𝜋/2
0
[−
1
3
𝑐𝑜𝑠3𝑡] = √2 (0 +
1
3
) =
√2
3
 
4. 
𝑥 = 𝑡 , 𝑦 = 2𝑡 , 𝑧 = 3𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
∫ 𝑥𝑒𝑦𝑧𝑑𝑠 = ∫ 𝑡𝑒(2𝑡)(3𝑡)√12 + 22 + 32𝑑𝑡 = √14 ∫ 𝑡𝑒6𝑡
2
 𝑑𝑡 = √14 [
1
12
𝑒6𝑡
2
] =
√14
12
(𝑒6 − 1)
1
0
1
0
 
5. 
∫ 𝑥𝑦𝑒𝑦𝑧 𝑑𝑦 = ∫ (𝑡)(𝑥2)𝑒(𝑡
2)(𝑡3) ∗ 2𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 2𝑡4𝑒𝑡
5
𝑑𝑡 =
2
5
𝑒𝑡
5
=
2
5
(𝑒1 − 𝑒0) =
2
5
(𝑒 − 1)
1
0
1
0
 
6. 
𝑥 = 1 + 3𝑡 , 𝑦 = 𝑡 , 𝑧 = 2𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
∫ 𝑧2𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 + 𝑦2 𝑑𝑧 = ∫ (2𝑡)2
1
0
∗ 3𝑑𝑡 + (1 + 3𝑡)2𝑑𝑡 + 𝑡2 ∗ 2 𝑑𝑡 = ∫ (23𝑡2 + 6𝑡 + 1) 𝑑𝑡
1
0
 
[
23
3
𝑡3 + 3𝑡2 + 𝑡] =
23
3
+ 3 + 1 =
35
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 0.5424 
 
 
 
 
 
26. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
1
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘) 
 
a) 
 
 
= (0 − 𝑒𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑧 ) 𝑖 − (𝑒𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 0)𝑗 + (0 − 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦) 𝑘 
= (−𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑧, −𝑒𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑥 , −𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦) 
 
b) F = ▽ ・F = 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝑒𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑧) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝑒𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑥) 
= 𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑒𝑦𝑠𝑖𝑛 𝑧 + 𝑒𝑧𝑠𝑖𝑛 𝑥 
 
 
EJERCICIOS 16.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
No se conserva por el teorema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función potencial para F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función potencia para F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función potencial para F 
 
8). 
 
𝑭(𝑥, 𝑦) = (𝑦𝑒𝑥 + sin 𝑦) 𝒊 + (𝑒𝑥 + 𝑥 cos 𝑦)𝒋 
 
𝜕
𝜕𝑦
= 𝑒𝑥 + cos 𝑦 
 𝐹 = ℝ2 
𝜕
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 
 
 
𝑭𝒙(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒
𝑥 + xsin 𝑦 + 𝑔(𝑦) 
 
𝑭𝒚(𝑥, 𝑦) = 𝑒
𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 + 𝑔´(𝑦) 
 
𝑔(𝑦) = 𝐾 
 
𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒𝑥 + xsin 𝑦 + 𝐾 => función potencial para F = ∇𝑓 
 
9). 
 
F(x, y) = 𝑦2𝑒𝑥𝑦 i + (1 + xy) 𝑒𝑥𝑦 j 
 
𝜕
𝜕𝑦
= 𝑦2 𝑥𝑒𝑥𝑦 + 2𝑦𝑒𝑥𝑦 
 = (𝑥𝑦2 + 2𝑦)𝑒𝑥𝑦 
 𝐹 = ℝ2 
𝜕
𝜕𝑥
= (1 + 𝑥𝑦)𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑦𝑒𝑥𝑦 
 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 𝑒𝑥𝑦 + 𝑦𝑒𝑥𝑦 
 = (𝑥𝑦2 + 2𝑦)𝑒𝑥𝑦 
 
𝑭𝒙(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒
𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦) 
 
𝑭𝒚(𝑥, 𝑦) = (1 + 𝑥𝑦)𝑦𝑒
𝑥𝑦 + 𝑔´(𝑦) 
 
𝑔´(𝑦) = 0 
𝑔(𝑦) = 𝐾 
 
𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝐾 => función potencial para F = ∇𝑓 
 
 
 
 
 
 
10). 
 
𝑭(𝑥, 𝑦) = (𝑦2 + cos 𝑥 + cos 𝑦)𝒊 + (2ysin 𝑥 − 𝑥 sin 𝑦)𝒋 
 
𝜕
𝜕𝑦
= 2ycos 𝑥 − sin 𝑦 
 𝐹 = ℝ2 
𝜕
𝜕𝑥
= 2ysin 𝑥 − 𝑥 sin 𝑦 
 
 
𝑭𝒙(𝑥, 𝑦) = 𝑦
2 sin 𝑥 + x cos 𝑦 + 𝑔(𝑦) 
 
𝑭𝒚(𝑥, 𝑦) = 2ysin 𝑥 − 𝑥 sin 𝑦 + 𝑔´(𝑦) 
 
𝑔´(𝑦) = 0 
𝑔(𝑦) = 𝐾 
 
𝑭(𝑥, 𝑦) = sin 𝑥 + x cos 𝑦 + 𝐾 => función potencial para F = ∇𝑓 
 
 13). 
F(x, y) = 𝑥2𝑦3 i + 𝑥3𝑦2 j, 
C: r(t) = <𝑡3 -2t, 𝑡3 + 2t>, 0 < t < 1 
 
 F = ∇𝑓 
 𝑔´(𝑦) = 0 
 𝑔(𝑦) = 𝐾 
 
 
𝑭𝒙(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2𝑦3 => 𝑭(𝑥, 𝑦) =
1
3
𝑥3𝑦3 + 𝑔(𝑦) 
 
𝑭𝒚(𝑥, 𝑦) = 𝑥
3𝑦2 => 𝑭(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦2 + 𝑔´(𝑦) 
 
 𝐾 = 0 
𝑭(𝑥, 𝑦) =
1
3
𝑥3𝑦3 
C es una curva suave que inicia en r(0) = (0,0) hasta r(1)=(- 1,3) 
 
∫ c 𝐅 · 𝐝𝐫 = ∫ c ∇𝑓 · 𝐝𝐫 
𝑓 (−1, 3) − 𝑓 (0, 0) = −9 − 0 = −9 
 
 
 
 
15). 
F(x, y, z) = yz i + xz j + (xy + 2z) k, 
C es el segmento de recta de (1, 0, -2) a (4, 6, 3) 
 
 F = ∇𝑓 
 𝑔(𝑦) = 0 
 𝑔𝑦(𝑦, 𝑧) = 0 
 𝑔(𝑦, 𝑧) = ℎ(𝑧) 
 
𝑭𝒙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦z => 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑔(𝑦, 𝑧) 
 
𝑭𝒚(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥z => 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥yz + ℎ(𝑧)  𝑔(𝑦, 𝑧) = ℎ(𝑧) 
 
𝐾 = 0 
𝑭𝒛(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 2z => 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥yz + 𝑧
2  ℎ(𝑧) = 𝑧2 + 𝐾 
 
 
∫ c 𝐅 · 𝐝𝐫 = ∫ c ∇𝑓 · 𝐝𝐫 
𝑓 (4, 6, 3) − 𝑓 (1, 0, -2) = 81 − 4 = 77 
 
17). 
F(x, y, z) = yz𝑒𝑥𝑧 i + 𝑒𝑥𝑧j + xy𝑒𝑥𝑧 k, 
C: r(t) = (t 2 + 1) i + (t 2 – 1) j + (t 2 - 2t) k, 0 < t < 2 
 
 F = ∇𝑓 
 𝑔(𝑦) = 0 
 𝑔𝑦(𝑦, 𝑧) = 0 
 𝑔(𝑦, 𝑧) = ℎ(𝑧) 
 
𝑭𝒙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦z𝑒𝑥𝑧 => 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒𝑥𝑧 + 𝑔(𝑦, 𝑧) 
 
𝑭𝒚(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒
𝑥𝑧 => 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒𝑥𝑧 + ℎ(𝑧)  𝑔(𝑦, 𝑧) = ℎ(𝑧) 
 
𝐾 = 0 
𝑭𝒛(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑧 => 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒𝑥𝑧  ℎ(𝑧) = 𝑧2 + 𝐾 
 
 
r(0) = <1,-1,0> 
r(2) = <5,3,0> 
 
∫ c 𝐅 · 𝐝𝐫 = ∫ c ∇𝑓 · 𝐝𝐫 
𝑓 (5,3,0) − 𝑓 (1,-1,0) = 3𝑒0 + 𝑒0 = 4 
 
18. F(x,y,z)= 𝑦2𝑧3𝑖 + 2𝑥𝑦𝑧3 𝑗 + 3𝑥𝑦2𝑧2 𝑘 
 
= (6𝑥𝑦𝑧2 − 6𝑥𝑦𝑧2) 𝑖 − (3𝑦2𝑧2 − 3𝑦2𝑧2) 𝑗 + (2𝑦𝑧3 −F = ▽ x F 
2𝑦𝑧3)𝑘 = 0 
 
F es conservativo 
 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2𝑧3 + 𝑔(𝑦, 𝑧) y 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦𝑧
3 + 𝑔𝑦(𝑦, 𝑧). Pero 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
2𝑥𝑦𝑧3,entonces 𝑔(𝑦, 𝑧) = ℎ(𝑧) y 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2𝑧2 + ℎ(𝑧). De este modo 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
3𝑥𝑦2𝑧2 + ℎ´(𝑧) pero 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥𝑦
2𝑧2 + ℎ´(𝑧) = 𝐾 
 
La función potencial para F es 𝑓(𝑥, 𝑦,𝑧) = 𝑥𝑦2𝑧3 + 𝐾 
 
 
19. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑖 + 𝑥𝑧 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑗 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑘 
 
F= ▽ x F= 
 
= (−𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 − 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦)𝑖 − (𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠 𝑦)𝑗 + [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑦 − (−𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑦)]𝑘 = −2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑖 +
2𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑘 ≠ 0 
 Debido a que es diferente de 0 , F no es conservativo 
 
20 Determine a) el rotacional y b) la divergencia del campo vectorial 
a) 
= [
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2𝑦2𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥2𝑦𝑧2) ]i - [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2𝑦2𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥𝑦2𝑧2) ] j+ 
[
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2𝑦𝑧2) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥𝑦2𝑧2) ] k 
 
= (2𝑥2𝑦𝑧 − 2𝑥2𝑦𝑧) 𝑖 − (2𝑥𝑦2𝑧 − 2𝑥𝑦2𝑧) 𝑗 + (2𝑥𝑦𝑧2 − 2𝑥𝑦𝑧2) 𝑘 = 0 
 
b) F = ▽ ・F = 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥𝑦2𝑧2) + 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2𝑦𝑧2) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥2𝑦2𝑧) = 𝑦2𝑧2 + 𝑥2𝑧2 + 𝑥2𝑦2