Clase_6

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Matemáticas II
Clase 6: Preliminares de álgebra lineal
Jorge Rivera
6 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 57 a 66
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Agenda
Objetivos de la clase
Producto cartesiano
Flechas, vectores, puntos
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer conceptos de producto cartesiano de conjuntos y problemas
con intervalos
• Conocer vectores en R2 y R3 y geometŕıa elemental
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Producto cartesiano
Par ordenado / n tupla ordenada
• Dados dos conjuntos: A y B y dados a ∈ A y b ∈ B:
(a, b) par ordenado ⇒ primer elemento es a y segundo elemento es b
• Identidad fundamental:
(a, b) = (a′, b′) ⇐⇒ a = a′ ∧ b = b′.
• Producto cartesiano de A con B: conjunto de todos los pares ordenados
cuyo primero elemento está en A y cuyo segundo elemento está en B:
A× B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
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Ejemplo
A = {1, 2, 3} y B = {◦,�,4} entonces:
A×B = {(1, ◦), (1,�), (1,4), (2, ◦), (2,�), (2,4), (3, ◦), (3,�), (3,4)}.
B ×A = {(◦, 1), (�, 1), (4, 1), (◦, 2), (�, 2), (4, 2), (◦, 3), (�, 3), (4, 3)}.
A× A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.
B×B = {(◦, ◦), (◦,�), (◦,4), (�, ◦), (�,�), (�,4), (4, ◦), (4,�), (4,4)}
• Note que si A 6= B entonces
A× B 6= B × A
.
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• Si A y B son conjuntos numéricos, A× B se puede representan de
manera gráfica:
• Eje X (horizontal, absisas): valores de A
• Eje Y (vertical, ordenadas): valores de B
• (a, b) es un elemento del plano.
Ejemplo
A1 = [0, 1] y A2 = {2}, entonces A1 × A2 son los pares ordenados de la
forma (x , y) donde x ∈ [0, 1] e y = 2.
Figura 1: A = [0, 1]× {2} es segmento de ĺınea (trazo recto)
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Ejemplo
A = [3, 8] y B = [4, 7], entonces A× B son los pares ordenados de la
forma (x , y) donde x ∈ [3, 8] e y ∈ [4, 7: forman un rectángulo en el
plano.
Figura 2: [3, 8]× [4, 7]
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Extensión: n-tupla ordenada
• Conjuntos son A1,A2, · · · ,An:
• Dados ai ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , n, definamos la n-tupla ordenada
(a1, a2, · · · , an)
donde a1 es el primer elemento, a2 el segundo, etc., an el n-ésimo
elemento.
• Se cumple que
(a1, a2, · · · , an) = (a′1, a′2, · · · , a′n) ⇐⇒ a1 = a′1, a2 = a′2, · · · , an = a′n.
• Producto cartesiano de A1,A2, . . . ,An:
A1 × A2 × A3 × · · ·An = {(a1, a2, · · · , an) : ai ∈ Ai , i = 1, . . . , n}.
• Nota: cuando A1 = A2 = · · · = An (=A) entonces
A× A× A× · · · × A︸ ︷︷ ︸
n veces
= An.
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• Caso tripletas ordenadas: de conjuntos numéricos: se pueden
representar en el espacio.
Ejemplo
Dado A = [0, 1], entonces A3 = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] es un cubo en el
“espacio tridimensional”.
Figura 3: A = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] es un cubo en el espacio
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Flechas, vectores, puntos
Pares ordenados de números
• Los ejes son X 1 y X 2
• Elementos de la forma (x1, x2) ∈ R× R son puntos en el plano.
• Esos puntos se pueden ver como flechas en el plano: el origen es la
base de la fecha y la punta de la misma es el punto en cuestión.
• Las fechas también se identifican como vectores.
Figura 4: Puntos del plan, vectores, pares ordenados, flechas: la
misma cosa...
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Operaciones con flechas (vectores)
• Suma de flechas: si una “fecha” es (x1, x2) y la otra es (x ′1, x ′2),
entonces la suma de ambas es
(x1 + x
′
1, x2 + x
′
2).
Figura 5: Geometŕıa de la suma de flechas
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Figura 6: Suma de flechas no depende del orden
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Ponderación de flechas
• Ponderación de una flecha: si la “fecha” es v = (x1, x2) y β ∈ R es un
escalar (número real) entonces β veces la fecha v es
βv = β (x1, x2) = (βx1, βx2).
Figura 7: Ponderación de vector por escalar β, con |β| > 1
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Figura 8: Ponderación de vector por escalar β, con |β| < 1
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• Se pueden combinar las sumas y ponderaciones de flechas.
Ejemplo
Dados v1 = (1, 3) y v2 = (4, 6) entonces
2v1 + 5v2 = (2, 6) + (20, 30) = (22, 36).
Ejemplo
Dados v1 = (1, 3) y v2 = (2, 4), ¿para qué valor de α y β ocurre que
(10, 22) = αv1 + βv2?
Se debe cumplir que:
(10, 22) = αv1 + βv2 ⇒ (10, 22) = (α 1, α 3) + (β 2, β 4) ⇒
(10, 22) = (α+ 2β, 3α+ 4β) ⇒ 10 = α+ 2β ∧ 22 = 3α+ 4β.
De la primera ecuación, α = 10− 2β. Eso en la segunda ecuación:
22 = 3 (10− 2β) + 4β ⇒ β = 4 ⇒ α = 2.
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Vectores en R3
• Ejes: X 1,X 2 y X 3
• Flechas (vectores, puntos) están en el “espacio”.
Figura 9: Vector en R3
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Figura 10: Suma de vectores en el espacio
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Figura 11: Ponderación de vector en el espacio
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	Objetivos de la clase
	Producto cartesiano
	Flechas, vectores, puntos