Clase_14_2022

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Matemáticas II
Clase 14: Inversa de una matriz
Jorge Rivera
30 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 153 - 162
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Agenda
Objetivos de la clase
Concepto de matriz invertible
Propiedades
Caracterización de matriz invertible
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto de matriz invertible (y de inversa de una matriz)
• Conocer que una matriz (cuadrada) es invertible śı y solo śı sus
columnas son l.i.
• Conocer propiedades básicas de matrices invertibles.
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Concepto de matriz invertible
Idea
• Considere
A =
[
3 5
4 7
]
∧ B =
[
7 −5
−4 3
]
• Es directo ver que
AB =
[
1 0
0 1
]
= I2 ∧ B A =
[
1 0
0 1
]
= I2.
• En lo anterior, para la matriz A ∈ R2×2 hay una matriz (la matriz B)
tal que AB = I2 y B A = I2.
• ¿Será cierto que para cualquier matriz A ∈ R2×2 hay otra matriz
B ∈ R2×2 tal que AB = I2 y B A = I2?
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Ejemolo
Suponga que A =
[
3 5
6 10
]
. Nos preguntamos por B =
[
b11 b12
b21 b22
]
tal
que AB = I2, es decir, tal que (producto matricial usando producto
interno e identificar AB con I2)):
3b11 + 5b21 = 1 (1)
3b12 + 5 b22 = 0 (2)
6b11 + 10b21 = 0 (3)
6b12 + 10b22 = 1 (4)
• El lado izquierdo de (3) es dos veces el lado izquierdo de (1). Luego, que esas
ecuaciones se cumplan equivale a decir que 0 = 2 ∗ 1 = 2, una contradicción.
• El lado izquierdo de (4) es dos veces el lado izquierdo de (2). Luego, que esas
ecuaciones se cumplan equivale a decir que 1 = 2 ∗ 0 = 0, una contradicción.
• Por lo tanto, no existe una matriz B que cumpla AB = I2, es decir, la matriz
A no es invertible.
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• Conclusión: dada A ∈ R2×2, no necesariamente existe una matriz
B ∈ R2×2 tal que AB = B A = I2.
• Cuando existe tal matriz B uno dice que A es invertible, y que su
inversa es la matriz B en cuestión.
• Esa matriz B (si es que existe) se denota como
A−1.
• Visto de otra manera:
Diremos que una matriz cuadrada A ∈ Rm×m es invertible
si existe otra matriz, que denotaremos A−1 ∈ Rm×m, tal que
AA−1 = Im (= A
−1A).
• Nota: el concepto de matriz invertible no aplica a matrices
rectangulares.
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Comentario técnico
• Dada A ∈ Rm×m, supongamos que existe B tal que AB = Im.
• En este caso, notamos que:
AB = Im ⇒ B(AB) = BIm = B ⇒ (BA)B = B ⇒ BA = Im.
• Por lo tanto, si hay una matriz B tal que AB = Im entonces se cumple
que BA = Im.
• Relevancia de lo anterior: para verificar que una matriz A ∈ Rm×m es
invertible basta con encontrar otra matriz tal que al multiplicar por la
derecha se obtenga la identidad, de modo que no es necesario verificar la
multiplicación por la izquierda.
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Ejemplo
Usando las matrices del inicio, se tiene que
A =
[
3 5
4 7
]
⇒ A−1 =
[
7 −5
−4 3
]
.
• En efecto: haciendo el producto matricial con producto interno se tiene:
AA−1 =
[
3 5
4 7
] [
7 −5
−4 3
]
=
[
1 0
0 1
]
.
• Por lo indicado previamente, se debe cumplir que A−1A = I2, de modo
que no es necesario verificar ese resultado.
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Ejemplo (muy importante)
Una matriz
A =
[
a b
c d
]
∈ R2×2
es invertible (es decir, tiene inversa) śı y solo śı
a ∗ d − b ∗ c ̸= 0.
Dado eso, se cumple además que:
A−1 =
1
a ∗ d − b ∗ c
[
d −b
−c a
]
∈ R2×2.
• Por ejemplo, A =
[
2 3
6 10
]
es invertible ya que
2 ∗ 10− 6 ∗ 3 = 20− 18 = 2 ̸= 0. Por lo anterior, la inversa de A es
(verificar)
A−1 =
1
2
[
10 −3
−6 2
]
=
[
5 −3/2
−3 1
]
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Propiedades
Propiedades generales
Proposición
Dadas A,B ∈ Rm×m, se tiene que:
(a) Si A y B son invertibles, entonces AB es una matriz invertible y se
cumple que:
(AB)−1 = B−1A−1.
(b) Si A es invertible entonces At es invertible, y se cumple que
(At)−1 = (A−1)t .
• Visto de otra manera: la parte (a) dice que el producto de matrices
invertibles es invertible, y además informa el resultado de la inversa del
producto. Por otro lado, la parte (b) informa que si una matriz es
invertible entonces su traspuesta también lo es, e indica como obtener el
resultado.
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• Para ver lo anterior:
(a) : (AB) (B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AImA
−1 = AA−1 = Im ⇒
(AB)−1 = B−1A−1
(b) : At (A−1)t = (A−1 A)t = Itm = I
t
m ⇒ (At)−1 = (A−1)t.
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Caracterización de matriz
invertible
Caso 2× 2 y extensión
• Vamos a probar que una matriz A =
[
a11 a12
a21 a22
]
∈ R2×2 es invertible śı
y solo śı sus columnas son l.i (es decir, A invertible implica que sus
columnas son l.i y, por otro lado, si las columnas de A son l.i entonces A
es invertible).
• Primero: suponga que A = [aij ] ∈ R2×2 es invertible. Entonces dado
X0 ∈ R2 tenemos que existe X ∈ R2 tal que AX = X0. En efecto, dicho
vector X es dado por
AX = X0
multiplica por A−1⇒ A−1A︸ ︷︷ ︸
I2
X = A−1X0︸ ︷︷ ︸
∈R2
⇒ X = A−1X0.
• Por lo anterior, las columnas de A (que son dos) generan R2, por lo que
deben ser l.i. En efecto: AX es una combinación lineal de las columnas de A,
que variando los ponderadores (componentes de X ) permiten obtener cualquier
vector X0 de R2. Aśı:
A invertible ⇒ columnas de A son l.i. 12
• Segundo: supongamos que las columnas de A son l.i. Entonces esas
columnas son una base de R2, por lo que existe un vector X1 y existe un
vector X2 tal que
AX1 =
[
1
0
]
∧ AX2 =
[
0
1
]
.
• La inversa de A es la matriz cuya primera columna es X1 anterior y
cuya segunda columna es X2 anterior.
• Luego, cuando las columnas de A son l.i, existe la inversa de A. Aśı:
columnas de A son l.i ⇒ A es invertible
• En śıntesis: A es invertible si y sólo śı sus columnas son l.i.
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• El resultado anterior se extiende de manera directa a matrices
cuadradas de cualquier orden:
Una matriz A ∈ Rm×m es invertible śı y solo śı sus columnas son
l.i.
• Por la Proposición anterior (parte (b)), note que lo anterior es
equivalente a decir que A ∈ Rm×m es invertible si y solo śı sus filas son l.i
(eso porque si A es invertible entonces su traspuesta también es
invertible).
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Ejemplo: invertibilidad de una matriz triangular
Dada
A =
 a11 a12 a130 a22 a23
0 0 a33
 ,
tal que a11 ̸= 0, a22 ̸= 0 y a33 ̸= 0. Sean α1, α2, α3 tal que
α1
 a110
0
+ α2
 a12a22
0
+ α3
 a13a23
a33
 = 03 =
 00
0

• Luego, se cumple que α1a11 + α2a12 + α3a13α2a22 + α3a23
α3a33
 =
 00
0
 ⇒
α1a11 + α2a12 + α3a13 = 0 (5)
α2a22 + α3a23 = 0 (6)
α3a33 = 0 (7)
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• Puesto que a33 ̸= 0, de (7) tenemos que α3 = 0.
• Lo anterior en (6) implica que α2 = 0 cuando a22 ̸= 0, y eso en (5)
implica que α1 = 0 cuando a11 ̸= 0.
• De esta manera, las columnas de A (triangular superior o inferior)
son l.i cuando los elementos de la diagonal de A son diferentes de cero.
• Es decir:
Una matriz triangular (superior o inferior) es invertible śı y solo
śı todos los elementos de la diagonal son distintos de cero. Este
resultado sigue siendo válido para matrices triangulares de cual-
quier orden.
• Consecuencia directa de lo anterior es que una matriz diagonal es
invertible śı y solo śı todos los elementos de la diagonal son diferentes de
0 (¿por qué eso es cierto?)
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Comentarios finales
(a) El hecho que una matriz A ∈ Rm×m sea invertible corresponde a
decir que existe una matriz, que llamamos A−1, tal que AA−1 = Im.
(b) Si una matriz no es invertible, no existe la matriz que multiplicada
por A de como resultado la identidad.
(c) Conocer si una matriz es invertible pasa, en general, por encontrar
su inversa (si es que existe). Sin embargo, en algunos casos
podemos conocer si es invertible usando algunas propiedades:
(c1) Si la matriz es 2× 2 basta que la diferencia del producto cruzado de
sus elementos sea diferente de cero (esta regla no sirve –no aplica–
para matrices de orden superior).
(c2) Para una matriz de orden m ×m, basta con verificar que las
columnas son l.i.
(c3) Para una matriz triangular (superior o inferior) y para una matriz
diagonal, basta verificar que todos los elementos de la diagonal son
diferentes de cero.
(c4) Si sabemos que dos matrices son invertibles, entonces el producto de
ellas es invertible. Si sabemos que una matriz es invertible,entonces
su traspuesta es invertible. 17
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