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Matemáticas II
Clase 15: Núcleo e Imagen de una Matriz
Jorge Rivera
1 de septiembre de 2022
Apunte de Curso: Págs. 163-166
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Agenda
Objetivos de la clase
Núcleo de una matriz
Imagen de una matriz
Complemento
Śıntesis
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto de núcleo de una matriz y propiedades
elementales.
• Conocer el concepto de imagen de una matriz y sus propiedades
elementales.
• Núcleo e imagen de una matriz invertible.
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Núcleo de una matriz
Concepto
• Considere una matriz
A ∈ Rm×n.
• Dado X ∈ Rn ocurre que
AX ∈ Rm.
• La pregunta es: ¿para qué vectores X ∈ Rn ocurre que AX = 0m?
Definición
Dada A ∈ Rm×n, el conjunto de los vectores para los cuales AX = 0m se
llama núcleo de la matriz A:
Ker(A) = {X ∈ Rn : AX = 0m} ⊆ Rn.
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• Nota: recordemos que si A ∈ Rm×n y X ∈ Rn, entonces AX es un
vector de Rm, que corresponde a las combinaciones lineales de las
columnas de A usando como ponderadores las componentes de X .
• Por ejemplo:
A =

2 3 4
1 7 1
2 3 8
4 9 6
 ∈ R3×4 ∧ X =
x1x2
x3
 ∈ R3
entonces
AX = x1

2
1
2
4
+ x2

3
7
3
9
+ x3

4
1
8
6
 ∈ R4.
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Proposición importante
Proposición
Para toda A ∈ Rm×n, Ker(A) es un subespacio vectorial de Rn.
Prueba. Primero, 0n ∈ Ker(A) ya que 0A•1 + 0A•2 + · · ·+ 0A•n = 0m.
Segundo: dados X1,X2 ∈ Ker(A), tenemos que
A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 0m + 0m = 0m ⇒ X1 + X2 ∈ Ker(A).
Tercero: dado X1 ∈ Ker(A) y dado α ∈ R se tiene que
A(αX1) = αAX1 = α0m = 0m ⇒ αX1 ∈ Ker(A).
Definición: nulidad de una matriz
La dimensión del subespacio vectorial Ker(A) se llama nulidad de la
matriz A:
nul(A) = dim(Ker(A)).
Nota. Se subentiende que dim({0n}) = 0.
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Comentario
• Dada A ∈ Rm×n, los elementos de Ker(A) son los vectores X ∈ Rn
tales que las combinaciones lineales de las columnas de A usando las
componentes de X dan 0n.
Por lo tanto:
(1) Si Ker(A) ̸= {0n} es porque hay una combinación lineal de las
columnas de A que es 0m, donde no todos los coeficientes son 0. Es
decir, las columnas de A son l.d:
Ker(A) ̸= {0n} ⇐⇒ columnas de A son l.d.
(2) Si Ker(A) = {0n} es porque una combinación lineal de las columnas
de A que es 0m solo ocurre cuando todos los coeficientes son 0. Es
decir, las columnas de A son l.i:
Ker(A) = {0n} ⇐⇒ columnas de A son l.i.
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Ejemplo importante
Como consecuencia directa de del punto (2) anterior se tiene que:
A ∈ Rn×n invertible ⇐⇒ Ker(A) = {0n}.
En efecto. Si Ker(A) = {0n} entonces las columnas de A son l.i. Como A
es cuadrada esto implica que A es invertible.
Por otro lado, si A ∈ Rn×n es invertible, entonces sus columnas son l.i,
por lo que cualquier combinación lineal de ellas que es 0n ocurre cuando
todos los coeficientes son 0, es decir, Ker(A) = {0n}.
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• ¿Puede darse el caso que una matriz no sea invertible pero que aun
aśı su núcleo sea {0n}?
Respuesta. Śı. Basta con que las columnas de A sean l.i. Por ejemplo:
A =

2 5
4 2
8 0
9 3
 ∈ R4×2 ⇒ Ker(A) = {02}
pero la A no es invertible.
Ejemplo
¿Por qué Ker(A) ̸= {03} cuando A =
[
2 3 4
3 4 7
]
∈ R2×3?
Es porque las columnas de A son l.d, ya que son tres vectores de R2.
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Imagen de una matriz
Concepto
• Dada A ∈ Rm×n, recordemos que las (n) columnas de A son los
siguientes vectores de Rm: A•1,A•2, . . . ,A•n ∈ Rm.
• Haciendo (todas) combinaciones lineales de esas columnas se obtiene
un subespacio vectorial:
L({A•1,A•2, . . . ,A•n}) ⊆ Rm.
Definición: imagen de una matriz
La imagen de la matriz A ∈ Rm×n, que se denota Im(A), es el
subespacio vectorial conformado por las combinaciones lineales de las
columnas de A:
Im(A) = L({A•1,A•2, . . . ,A•n}) ⊆ Rm.
La dimensión de ese subespacio vectorial se llama rango de la matriz A:
rg(A) = dim(Im(A)).
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A tener presente...
• Dada A ∈ Rm×n, ¿como “se lee” que Y ∈ Im(A)? Corresponde a decir
que existe una combinación lineal de las columnas de A ∈ Rm×n que es
igual a Y .
• Ya que las combinaciones lineales de las columnas de A ∈ Rm×n
corresponde a una expresión de la forma AX , con X ∈ Rn, lo anterior
corresponde a decir que:
Y ∈ Im(A) ⇐⇒ ∃X ∈ Rn : AX = Y .
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Ejemplo
Dada A ∈ Rm×n, expliquemos porque 0m ∈ Im(A). En efecto (recuerde
que A•j ∈ Rm: columnas son vectores de Rm):
0m = 0A•1 + 0A•2 + · · ·+ 0A•n ⇒ 0m ∈ Im(A).
Ejemplo
Dada A ∈ Rm×n, si Y1 ∈ Im(A) e Y2 ∈ Im(A), expliquemos porque
Y1 + Y2 ∈ Im(A). En efecto, si Yj ∈ Im(A), j = 1, 2, es porque existe
Xj ∈ Rn tal que Yj = AXj . Luego:
Y1 + Y2 = AX1 + AX2 = A(X1 + X2) ⇒ Y1 + Y2 ∈ Im(A).
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Ejemplo (propiedad) importante: imagen de matriz invertible
Supongamos que A ∈ Rn×n es invertible. Entonces las columnas de A son
una base de Rn. Luego, ellas generan Rn. En consecuencia, para todo
Y ∈ Rn, existe una combinación lineal de las columnas de A que es igual
a Y . Es decir:
Im(A) = Rn.
• En resumen:
A ∈ Rn×n es invertible ⇐⇒ Im(A) = Rn ⇐⇒ rg(A) = n.
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Imagen de matriz no invertible
• Si la matriz A ∈ Rn×n no es invertible, entonces Im(A) ̸= Rn.
• Por lo tanto, dado Y ∈ Rn se puede dar solo una de las siguientes
situaciones:
(1) Existe X ∈ Rn tal que AX = Y (cuando Y ∈ Im(A).
(2) No existe X ∈ Rn tal que AX = Y (cuando Y /∈ Im(A).
Visto de otra manera: si la matriz A ∈ Rn×n no es invertible, el problema
“encontrar X ∈ Rn tal que AX = Y ”, o bien puede tener solución
(existe el X ), o bien no tener solución (no existe el vector X que
cumple lo indicado).
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Complemento
Rango más nulidad
• Un resultado que relaciona los conceptos de imagen, núcleo, nulidad y
rango de una matriz es el siguiente:
Teorema
Para A ∈ Rm×n una matriz cualquiera, se cumple que
nul(A) + rg(A) = n,
es decir, el rango más la nulidad de una matriz es igual al número de
columnas de esa matriz.
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Śıntesis
Dada A ∈ Rm×n:
• El núcleo de A es el subespacio vectorial
Ker(A) = {X ∈ Rn : AX = 0m}, cuya dimensión se llana nulidad de A.
• Para matrices cuadradas: A ∈ Rn×n es invertible śı y solo śı
Ker(A) = {0n}. Eso equivale a decir que todas las columnas de A son l.i.
• La imagen de A es el subespacio vectorial que se obtiene de las
combinaciones lineales de las columnas de A: Im(A) = {AX : X ∈ Rn}.
La dimensión de l;a imagen de A se llama rango de A, y corresponde al
número máximo de columnas l.i. de la matriz.
• Para matrices cuadradas: A ∈ Rn×n es invertible śı y solo śı
Im(A) = Rn. Eso equivale a decir que las columnas de A son una base de
Rn (es decir, las columnas de A son l.i y generan Rn).
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	Objetivos de la clase
	Núcleo de una matriz
	Imagen de una matriz
	Complemento
	Síntesis