teorema del seno y coseno

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Triangulo 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema del seno 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 =
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
 = 
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
 
Teorema del coseno 
 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠 α 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝛽 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎 ∗ 𝑏 ∗ cos 𝛾 
Ejemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 
γ 
c 
γ 
Se pide calcular el lado “c” y los otros 2 ángulos 
Aplicando teorema del seno 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 =
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
 
25
𝑠𝑒𝑛 35
=
22
𝑠𝑒𝑛 𝛽
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛽∗
1
=
𝑠𝑒𝑛 35∗22
25
 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
𝑠𝑒𝑛 35∗22
25
) 𝛽 = 30,31° 
El tercer ángulo, se obtiene por diferencia con los 180° 
180 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 𝛾 = 114,69° 
El lado “c” se obtiene aplicando nuevamente el teorema del seno 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 = 
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
25
𝑠𝑒𝑛 35
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 114,69
 
25 ∗ 𝑠𝑒𝑛 114,69
𝑠𝑒𝑛 35
= 𝑐 
𝑐 = 39,60 
 
 
Ejemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se pide calcular el lado “b” y los otros 2 ángulos 
Aplicando teorema del coseno 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝛽 
Reemplazando 𝑏2 = 352 + 822 − 2 ∗ 35 ∗ 82 ∗ cos 40 
 b= 59,59 
aplicando 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝛼 
C = 82 
γ 
Reemplazando 352 = 59,592 + 822 − 2 ∗ 59,59 ∗ 82 ∗ cos 𝛼 
cos 𝛼 =
352 − 59,592 − 822
−2 ∗ 59,59 ∗ 82
= 
−9049,9681
−9772,76
= 0,926 𝑎 = 22,17° 
Para determinar el tercer ángulo, se obtiene por la suma de los ángulos interiores= 180° 
22,17 + 40 + 𝛾 = 180 𝛾 = 117,83 
 
Ejemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema del seno 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 =
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
 = 
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
Teorema del coseno 
 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏 ∗ 𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠 α 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝛽 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎 ∗ 𝑏 ∗ cos 𝛾 
Calculando α 𝛼 = 180 − 25 − 96 𝛼 = 59 
Aplicando teorema del seno 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 =
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
 
35
𝑠𝑒𝑛 59
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 25
 𝑏 = 17,25 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 =
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
35
𝑠𝑒𝑛 59
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 96 
 𝑐 = 40,60 
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
 = 
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
17,25
𝑠𝑒𝑛 25
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 96
 𝑐 = 40,59 
C 
γ=96 
 
Ejemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
aplicando 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝛼 
Reemplazando 352 = 402 + 642 − 2 ∗ 40 ∗ 64 ∗ cos 𝛼 𝛼 = 29,16 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝛽 
Reemplazando 402 = 352 + 642 − 2 ∗ 35 ∗ 64 ∗ cos 𝛽 𝛽 = 33,84 
El tercer ángulo se calcula por la diferencia con 180° 
29,16 + 33,84 + 𝛾 = 180 𝛾 = 117 
C = 64 
γ