Deposito Algebra lineal (27)

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79 Sistemas de ecuaciones lineales 
Por lo que el rango de la matriz ampliada es al menos dos. Por otro lado, dado que la primera y 
la tercera columna de la matriz ampliada son proporcionales, el rango de dicha matriz coincide 
con el rango de la siguiente 
 
 
 
Si � = #/ ⇒ ��������� = 	2, ya que no existe ningún menor de orden tres distinto de cero. 
Si � ≠ #/ ⇒��������� = 	3, ya que existe un menor de orden tres no nulo. Esto es 
Caso 2.1: Si � = #/ ⇒	��(�) = ��������� = 	2 < número de incógnitas = 3 ⇒	 Sistema 
Compatible Indeterminado. 
Caso 2.2: Si � ≠ #/ ⇒	��(�) = 2 ≠ ��������� = 	3	⇒ Sistema Incompatible. 
Caso 3: Si � = 1, véase cuál es el rango de la matriz de los coeficientes 
 
 
El rango de esta matriz es 2 ya que existe al menos un menor de orden dos no nulo. 
A continuación se estudia el rango de la matriz ampliada cuando � = 1 
 
 
 
80 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
 
Es decir, el rango de la matriz ampliada es al menos 2. Orlando el menor 01 se tiene el 
siguiente menor no nulo de orden 3 
 
 
Es decir, el rango de la matriz ampliada es ��������� = 	3 ∀� ∈ ℝ. Por ello, ��(�) = 2 ≠��������� = 	3	⇒ Sistema Incompatible. 
Otra forma de obtener la clasificación y resolver el sistema de ecuaciones es utilizando el 
comando Reduce 
 
Como se puede observar en el output, la resolución de este sistema es 
Caso 1: Si � ≠ − $# y � ≠ 1 
 
 
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Su solución es � = #"&#1 "1$&1 #12 , � = $ $&1, � = − $&"( #&1)$&1 #12 . Por tanto se trata de un sistema 
compatible determinado. 
Caso 2: 
Caso 2.1: Si � = − $# y � = #/, la solución del sistema es � = − #�, � = ( #&�')� , ∀� ∈ ℝ. Se trata 
de un sistema compatible indeterminado. 
Caso 2.2: Si � = − $# y � ≠ #/, este caso no figura en el output obtenido con el comando Reduce 
porque el sistema es incompatible. 
Caso 3: Si � = 1, este caso tampoco figura en el output por lo que el sistema es incompatible. 
 
 
M3. Resolver el sistema de ecuaciones 3	−� + 2� + 4 = 0� − 2�� − � = 1� − 2� − �4 = 0� − � − 4 = � � en función del parámetro real �. 
 
RESOLUCIÓN 
 
Se define el sistema de ecuaciones lineales 
 
Se definen la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada