Herramientas algenbra lineal (23)

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Tomamos la matriz A obtenida de A yuxtaponiéndole la matriz columna B y
procedemos a efectuar transformaciones elementales de fila
3 2 5 1
4 3 6 2
5 4 7 3
6 5 8 4
 ∼

3 2 5 1
0 −1 2 −2
0 −2 4 −4
0 −1 2 −2
 ∼

3 2 5 1
0 −1 2 −2
0 0 0 0
0 0 0 0
 ∼
∼

6 9 0 12
0 −1 2 −2
0 0 0 0
0 0 0 0
 ∼

2 3 0 4
0 −1 2 −2
0 0 0 0
0 0 0 0

y tenemos rangoA = rangoA = 2 < 3, luego el sistema es compatible indeterminado
y el conjunto de soluciones es
{(x, y, z) ∈ R3/2x+ 3y = 4, −y + 2z = −2} = {(2− 3
2
λ, λ,−1 + 1
2
λ),∀λ ∈ R}
— — —
14. Determinar el valor de λ de manera que el sistema
x+ y + z = 2
2x+ 3y − z = 2
3x+ 4y = λ

sea compatible y dar el conjunto de soluciones para dicho valor de λ.
Solución:1 1 1 22 3 −1 2
3 4 0 λ
 ∼
1 1 1 20 1 −3 −2
0 1 −3 λ− 6
 ∼
1 1 1 20 1 −3 −2
0 0 0 λ− 4

rango
1 1 12 3 −1
3 4 0
 = rango
1 1 1 22 3 −1 2
3 4 0 λ

si y sólo si λ = 4.
68 CAPÍTULO 3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Supongamos pues λ = 4 y resolvamos el sistema1 1 1 20 1 −3 −2
0 0 0 0
 ∼
1 0 4 40 1 −3 −2
0 0 0 0

luego las soluciones son:
x = 4− 4z, y = −2 + 3z para todo z.
— — —
15. Resolver según los valores de a, b, c, d ∈ R el siguiente sistema:
x+ 2y + 3z + 4t = a
2x+ 3y + 4z + t = b
3x+ 4y + z + 2t = c
4x+ y + 2z + 3t = d

Solución:
1 2 3 4 a
2 3 4 1 b
3 4 1 2 c
4 1 2 3 d
 ∼

1 2 3 4 a
0 −1 −2 −7 −2a+ b
0 −2 −8 −10 −3a+ c
0 −7 −10 −13 −4a+ d
 ∼
∼

1 2 3 4 a
0 1 2 7 2a− b
0 0 4 −4 a− 2b+ c
0 0 4 36 10a− 7b+ d
 ∼

1 2 3 4 a
0 1 2 7 2a− b
0 0 4 −4 −a+ 2b− c
0 0 0 40 11− 9b+ c+ d
 ∼
∼

10 20 30 40 10a
0 40 80 280 80a− 40b
0 0 40 0 a+ 11b− 9c+ d
0 0 0 40 11a− 9b+ c+ d
 ∼
∼

40 0 0 0 −9a+ b+ c+ 11d
0 40 0 0 a+ b+ 11c− 9d
0 0 40 0 a+ 11b− 9c+ d
0 0 0 40 11a− 9b+ c+ d
 .
69
El sistema tiene solución única
x =
−9a+ b+ c+ 11d
40
, y =
a+ b+ 11c− 9d
40
,
z =
a+ 11b− 9c+ d
40
, t =
11a− 9b+ c+ d
40
.
— — —
16. Considerar el sistema AX = B, siendo
A =
 1 2 a−1 3 a
1 4 a
 , B =
1 a1 b
1 c

Discutir el sistema según los diferentes valores de las constantes a, b ∈ R. Encontrar,
en los casos en que ello sea posible, el conjunto de soluciones.
Solución:
 1 2 a | 1 a−1 3 a | 1 b
1 4 a | 1 c
 ∼
1 2 a | 1 a0 5 2a | 2 a+ b
0 2 0 | 0 c− a
 ∼
1 2 a | 1 a0 2 0 | 0 c− a
0 5 2a | 2 a+ b
 ∼
∼
1 2 a | 1 a0 1 0 | 0 c−a
2
0 0 4a | 4 7a+ 2b− 5c
 .
Luego para que el sistems sea compatible ha de ser a 6= 0.
Supongamos pues que a 6= 0.1 2 a | 1 a0 1 0 | 0 c−a
2
0 0 4a | 4 7a+ 2b− 5c
 ∼
1 2 a | 1 a0 1 0 | 0 c−a
2
0 0 1 | 1
a
7a+2b−5c
4a
 ∼
1 2 0 | 0 −3a−2b+5c40 1 0 | 0 c−a
2
0 0 1 | 1
a
7a+2b−5c
4a
 ∼
1 0 0 | 0 a−2b+c40 1 0 | 0 c−a
2
0 0 1 | 1
a
7a+2b−5c
4a
