Álgebra Lineal Mora (30)

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Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales 
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Multiplicando la ecuación 1.24 por a, sumándola a (1.25) y agrupando se obtiene la 
ecuación 1.22 evaluada en (c1, c2, ... , cn), concluyendo de esto que (c1, c2, ..., cn) es solu-
ción del nuevo sistema.
Recíprocamente, si (c1, c2, ..., cn) es solución del nuevo sistema, entonces:
 aklcl 	 ak2c2 	 · · · 	 akncn � bk, para todo k � j (1.26) 
y
 (aj1 	 aai1)c1 	 (aj2 	 aai2)c2 	 · · · 	 (ajn 	 aain)cn � bj 	 abi (1.27)
Tomando k � i en (1.26), multiplicándola por a y restándola a (1.27) se obtiene:
 aj1c1 	 aj2c2 	 · · · 	 ajncn � bj (1.28)
concluyendo con esto que (c1, c2, ..., cn) es solución del sistema original. 
En la discusión del ejemplo de las refi nerías usamos esencialmente lo que se co-
noce como el Método de Reducción de Gauss-Jordan. Lo que haremos abajo es repre-
sentar el sistema de ecuaciones mediante una matriz y aplicar el método usando 
operaciones elementales en las fi las.
Recordemos que el sistema discutido es:
20x1 	 21x2 	 19x3 � 1 250
 11x1 	 12x2 	 13x3 � 750
 9x1 	 8x2 	 8x3 � 520,
por lo que su matriz aumentada resulta ser: 
 20 21 19 1 250
 11 12 13 750
 9 8 8 520
En lo que sigue aplicaremos operaciones elementales a esta matriz para resolver 
el sistema de ecuaciones. Pedimos al lector que identifi que el tipo de operaciones que 
se aplican al pasar de una matriz a la siguiente. 
 20 21 19 1 250
 11 12 13 750
 9 8 8 520 
�
 
 20 21 19 1 250
 2 4 5 230
 9 8 8 520
 � 
0 �19 �31 �1 050
2 4 5 230
1 �8 �12 �400
 �
0 19 31 1 050
0 20 29 1 030
1 �8 �12 �400 
�
 
0 19 31 1 050
0 1 �2 �20
1 �8 �12 �400
 � 
0 0 69 1 430
0 1 �2 �20
1 0 �28 �560
 �
0 0 1 430/69
0 1 �2 �20
1 0 �28 �560 
�
 
0 0 1 1 430/69
0 1 0 1 480/69
1 0 0 1 400/69
 � 
1 0 0 1 430/69
0 1 0 1 480/69
0 0 1 1 400/69
Al estudiar un sistema de ecuaciones lineales, de manera natural surgen dos pre-
guntas fundamentales.