Álgebra Lineal Mora (31)

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Álgebra lineal
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 1. ¿Cuándo tiene solución un sistema de ecuaciones lineales?
 2. ¿Cómo encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales?
Iniciamos la discusión de las preguntas planteadas presentando algunos ejemplos.
Ejemplo 1.3.3. La matriz
 
1 0 0 4
0 1 0 �1
0 0 1 3
 
representa un sistema de ecuaciones re-
suelto.
La interpretación es la siguiente. Si las variables son x, y y z, la primera, segunda y 
tercera fi las representan a las ecuaciones x 	 0y 	 0z � 4, 0x 	 y 	 0z � �1 y 0x 	 0y 
	 z � 3 respectivamente, en otras palabras la solución del sistema es la triada (x, y, z) � 
(4, �1, 3).
Ejemplo 1.3.4. Si la matriz anterior se cambia a 
1 0 0 4
0 1 0 �1
0 0 0 1 
, entonces el siste-
ma no tiene solución, pues la última ecuación no se satisface para cualesquiera que 
sean los valores de las variables.
Ejemplo 1.3.5. La siguiente matriz representa un sistema con muchas soluciones 
(¿por qué?).
1 0 0 4
0 1 1 �1
0 0 0 0
Los ejemplos anteriores ilustran cómo la matriz aumentada de un sistema repre-
senta la información relacionada con las soluciones, entonces, decidir si un sistema 
tiene solución se reduce a establecer algunas propiedades que debe tener la matriz 
después de haberle aplicado sucesivamente operaciones elementales. Note que las 
matrices de los ejemplos tienen ciertas características que precisamos en la siguiente 
defi nición.
Defi nición 1.3.5. Una matriz se dice que está en forma escalonada reducida, si cum-
ple las siguientes condiciones:
 1. Las fi las cero, de existir, se encuentran al fi nal.
 2. La primera entrada no cero, de izquierda a derecha, de una fi la no cero es uno 
(entrada principal).
 3. La columna que contiene a la entrada principal de una fi la, tiene solamente ce-
ros, excepto la entrada principal.
 4. Las entradas principales aparecen en forma escalonada, es decir, si hay r fi las 
no cero y la entrada principal de la fi la número i se encuentra en la columna 
ki, entonces se tiene k1 � k2 � · · · � kr.
Si una matriz satisface las condiciones estipuladas en la defi nición 1.3.5, diremos 
que se encuentra en forma escalonada reducida.