Álgebra Lineal Mora (53)

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Álgebra lineal
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notación anterior, el producto AB estará defi nido solamente si A ∈ Mm�n(R) y B ∈ 
Mn�p(R). Cuando esta condición es satisfecha estaremos en condiciones de averiguar el 
tipo de propiedades que cumple el producto.
Propiedades de la suma
Para analizar las propiedades de la suma supondremos que las matrices A, B y C per-
tenecen al conjunto Mm×n(R).
 1. Si A, B ∈ Mm�n(R), digamos que las entradas de A son aij y las de B son bij, enton-
ces la matriz A 	 B tiene por entradas a aij 	 bij. Como aij y bij son números reales 
y en los reales la suma es conmutativa, concluimos que aij 	 bij � bij 	 aij. Por otro 
lado, los elementos bij 	 aij son las entradas de B 	 A. De esto se ha probado que 
A 	 B � B 	 A; conmutatividad de la suma.
 2. Existe una matriz en Mm�n(R) que denotaremos 0, cuyas entradas son todas cero y 
satisface, A 	 0 � 0 	 A � A, para toda A ∈ Mm�n(R); existencia de neutro aditivo.
 3. Dada la matriz A ∈ Mm×n(R), existe � A ∈ Mm�n(R) tal que A 	 (� A) � 0. Si las 
entradas de A son aij, las entradas de � A las tomamos como � aij. Claramente se 
cumple aij 	 (� aij) � 0. Existencia de inversos aditivos.
 4. Si A, B y C son matrices en Mm�n(R), entonces (A 	 B) 	 C � A 	 (B 	 C). La 
igualdad se obtiene escribiendo los elementos de (A 	 B) 	 C y haciendo uso de 
la asociatividad de la suma en los números reales. Asociatividad de la suma.
Propiedades del producto de matrices
En lo que sigue enunciamos las propiedades que satisface el producto de matrices y 
demostramos solamente la primera, las restantes quedan como ejercicio para el lector.
 1. Si A ∈ Mm�n(R), B ∈ Mn�p(R) y C ∈ Mp�q(R), entonces (AB)C � A(BC); asociativi-
dad del producto.
 2. Si A y B pertenecen a Mm�n(R) y C pertenece a Mn�p(R), entonces (A 	 B)C � AC 
	 BC; distributividad por la izquierda del producto respecto de la suma.
 3. Si A y B pertenecen a Mm�n(R) y C pertenece a Mp�m(R), entonces C(A 	 B) � CA 
	 CB; distributividad por la derecha del producto respecto de la suma.
 4. Existe una matriz de orden m � m denotada Im, cuyas entradas cij satisfacen 
 cij �
0 si i � j
1 si i � j6
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, tal que ImA � A para toda matriz A ∈ Mm�n(R); existencia de
 identidad por la izquierda.
 5. Existe una matriz de orden n � n denotada In, cuyas entradas cij satisfacen 
 cij �
0 si i � j
1 si i � j6
7
8
 tal que AIn, � A para toda matriz A ∈ Mm�n(R); existencia de
 identidad por la derecha.
Discusión. Para demostrar la primera propiedad, notemos que los dos productos 
(AB)C y A(BC) están defi nidos y son matrices de orden m � q. Pongamos (AB)C � D y 
A(BC) � E, llamando dij a los elementos de D; asimismo, llamemos eij a los elementos 
de E. Para demostrar que D � E, debemos probar que dij � eij para todo i � 1, 2, ..., m y 
para todo j � 1, 2, ..., q.
Recordemos cómo se defi ne el producto de matrices. Por ejemplo, si deseamos 
obtener el elemento que se encuentra en la fi la i y en la columna j de AB, se toma la 
fi la i-ésima de A y se multiplica por la columna j-ésima de B. Dicho elemento es 
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