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Capítulo 3. Espacios vectoriales 67 Refi nería 1 Refi nería 2 Refi nería 3 Gasolina 20 21 19 Diesel 11 12 13 Aceite lubricante 9 8 8 Tabla 3.1. Representación de la producción de las refi nerías. La segunda columna de la tabla contiene las cantidades de gasolina, diesel y aceite que produce la refi nería 1 por barril; de manera similar, la tercera y cuarta columnas re- presentan la producción de las refi nerías 2 y 3 respectivamente. La producción de cada una de las refi nerías la podemos organizar en forma de vectores: Producción de la refi nería 1: (20, 11, 9). Producción de la refi nería 2: (21, 12, 8). Producción de la refi nería 3: (19, 13, 8). Al vector (20, 11, 9) le llamamos el vector de producción de la refi nería 1, por barril de crudo; entonces multiplicar este vector por un escalar x � 0, signifi ca que la refi ne- ría 1 procesará x barriles de crudo y se tendrá un vector de producción x(20, 11, 9) � (20x, 11x, 9x). Su interpretación geométrica la visualizamos como una semirrecta que tiene su origen en (0, 0, 0) y pasa por el punto (20, 11, 9). En términos económicos, el con- junto {(20x, 11x, 9x) : x � 0} se llama actividad de producción de la refi nería 1. Para cada una de las refi nerías se puede hacer la misma formulación y obtener las correspon- dientes actividades de producción. Combinando las actividades de producción de las tres refi nerías defi nimos el conjunto de producción de las tres como: P := {x(20, 11, 9) y(21, 12, 8) z(19, 13, 8) : x, y, z � 0} Una de las preguntas planteadas en la discusión fue: ¿cuántos barriles debe proce- sar cada una de las refi nerías para tener una producción de 1 250 galones de gasolina, 750 galones de diesel y 520 de aceite lubricante? En lenguaje puramente matemático la pregunta se puede formular diciendo: ¿cuáles son los valores no negativos de x, y y z que justifi can (1 250, 750, 520) ∈ P? En forma equivalente, ¿cuáles son los valores no negativos de x, y y z para que la ecuación: x(20, 11, 9) y(2l, 12, 8) z(19, 13, 8) � (1 250, 750, 520) (3.4) tenga solución? Haciendo las operaciones indicadas en la ecuación 3.4 e igualando coordenada a coordenada esta ecuación se transforma en el sistema: 20x 21y 19z � 1 250 11x + 12y 13z � 750 9x 8y 8x � 520 De lo discutido en el primer capítulo, la solución de este sistema es: x � 1 430 69 , y � 1 480 69 y z � 1 400 69 . Entonces se tiene: 1 430 69 (20, 11, 9) 1 480 69 (21, 12, 8) 1 400 69 (19, 13, 8) � (1 250, 750, 520) 67
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