Álgebra Lineal Mora (87)

Vista previa del material en texto

Álgebra lineal
72
Desarrollando el cuadrado de los binomios y simplifi cando, esta ecuación conduce a:
�2ax � 2by � 2cz � � 2 2 2 2 2 2 2x y z a b c	 	 	 	 cos(θ)
y de esta última se obtiene:
 cos(θ) �
 
ax by cz
x y z a b c
	 	
	 	 	 	2 2 2 2 2 2
 (3.8)
De igual forma que en R2, los vectores 
rα � (x, y, z) y 
r
β � (a, b, c) son perpendicu-
lares, es decir, el ángulo entre ellos es 
π
2 
⇔ cos(θ) � 0. Usando la ecuación 3.8, esto 
último ocurre ⇔ ax 	 by 	 cz � 0. Como ya fue hecho para el caso de R2, se defi ne 
el producto interno de 
rα y 
r
β agregando una coordenada: �
rα , 
r
β � :� xa 	 yb 	 zc, 
teniéndose que 
rα es perpendicular a 
r
β ⇔ �
rα , 
r
β � � 0.
Con los términos y notación introducidos, el ángulo entre vectores en R3 se expre-
sa mediante la ecuación:
 cos(θ) �
 ��
r
β �� ��
rα ��
,
rα
r
β� �
 (3.9)
en analogía al caso de R2.
Ejercicio 3.3.6. Calcule el ángulo entre las parejas de vectores (1, 2) y (�1, 3); (1, 2, 3) 
y (�1, 3, 4).
 Ejercicio 3.3.7. Determine el ángulo entre las rectas cuyas ecuaciones son: 2x 	 y � 1, 
x 	 y � 3.
Ejercicio 3.3.8. (Identidad de Lagrange). Parte de este ejercicio consiste en que usted 
proponga una defi nición de Rn.
 1. Defi na el producto interno para dos elementos de Rn.
 2. Dados 
r
u � (a1, a2, ..., an) y 
r
v � (b1, b2, ..., bn) en R
n, demuestre:
 a) �
r
u , 
r
u � �
r
v , 
r
v � �
 
a b a bi i
i
n
i j
i jj
n
2 2
1
2 2
1� �
	∑ ∑∑
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟�
 b) �
r
u , 
r
v �2 � a bi i
i
n
2 2
1�
∑ 	 2 a b a bi i j j
i j n1� � �
∑
 c) Usando los incisos anteriores demuestre que:
 �
r
u , 
r
u � �
r
v , 
r
v � � �
r
u , 
r
v �2 � ( )a b a bi j j i
i j n
�
� � �
2
1
∑ (Identidad de Lagrange)
 3. Usando la Identidad de Lagrange, obtenga una demostración de la importante 
desigualdad:
 | x1y1 	 x2y2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 xnyn | � x x x y y yn n1
2
2
2 2
1
2
2
2 2	 	 	 	 	 	L L
 llamada Desigualdad de Cauchy-Schwarz.