Álgebra Lineal Mora (89)

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Álgebra lineal
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Defi nición 3.3.4. Con las condiciones como en la discusión anterior, al vector
r r
r r
u v
v v
,
,
r
v
 
se le llama la proyección ortogonal del vector 
r
u sobre el vector 
r
v y suele de-
notársele por Proyr
r
r r
r r
r
v u
u v
v v
v�
,
,
Note que el vector 
��
r
v ��
r
v
 tiene norma uno, por lo que el vector Proy r
r
v u tiene lon-
gitud 
r r
u v,
��
r
v ��
 en la dirección de 
r
v .
Ejemplo 3.3.1. Encuentre la proyección ortogonal del vector 
r
u � (1, 2, 3) en la di-
rección de 
r
v � (2, 0, 1). Haga un bosquejo geométrico.
Discusión. La proyección de 
r
u en la dirección de 
r
v se obtiene aplicando la ecua-
ción de la defi nición 3.3.4, es decir, Proy r
r
v u �
( , , ),( , , )
( , , ),( , , )
1 2 3 2 0 1
2 0 1 2 0 1
(2,0,1) � 
2 	 3
4 	 1
(2,0,1) �
(2,0,1). Note que, en este caso, la proyección 
r
u de sobre 
r
v es el mismo 
r
v .
Ejercicio 3.3.9. En cada uno de los siguientes casos exprese a 
r
u como la suma de 
su proyección ortogonal sobre 
r
v y otro ortogonal a 
r
v . Haga un bosquejo geométrico 
de los resultados.
 1. 
r
u � (3, 8), 
r
v � (1, 0)
 2. 
r
u � (1, 2, 3), 
r
v � (1, 1, 0)
 3. 
r
u � (2, 1, 1), 
r
v � (1, 2, 0)
Una aplicación a geometría
Dada una recta L de ecuación Ax 	 By 	 C � 0 y un punto P � (x0, y0) que no pertenece 
a ella, determine la distancia de P a L.
L
X
U � (B, � A)
W � (0, � C/A)
P1 � P � W
P � (x0, y0)
Ax 	 By 	 C � 0
�U
Figura 3.12. Distancia de un 
punto a una recta.