4 Sistemas Lineales Homogéneos

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Sistema Lineales Homogéneos
Eigenvalores y eigenvectores de una matriz
Sea A una matriz cuadrada real de orden n: Si existen � 2 R y K 2 Rn�1
tales que AK =�K y K 6= On�1; se dice que:
� � es un eigenvalor real de A y K es un eigenvector real de A
� � es el eigenvalor asociado al eigenvector K
� K es un eigenvector asociado al eigenvalor �
� (�;K) es un eigenpar de A
Si existen � = � + i� 2 C (� 6= 0) y K 2 Cn�1 tales que AK =�K y
K 6= On�1 decimos que: � = � + i� es un eigenvalor complejo de A y K es
un eigenvector complejo de A:
Ecuación característica y eigenecuación
La ecuación polinómica con coe�cientes reales de grado n
det(�I � A) = 0
se llama ecuación característica de A:
La ecuación matricial AK = �K (ó equivalentemente (�I�A)K = O) se
llama ecuación de eigenvalores-eigenvectores de A (o eigenecuación de A).
Teorema
Los eigenvalores de A son las raíces de su ecuación característica y los
eigenvectores de A asociados a un eigenvalor �0 son las soluciones no-triviales
de la eigenecuación (�0I � A)K = O:
Ejemplo 1
Hallamos los eigenvalores y los eigenvectores de A =
�
�5 18
�3 10
�
:
Eigenvalores de A :
det
�
�+ 5 �18
3 �� 10
�
= 0, �2 � 5�+ 4 = 0
Los eigenvalores de A son 1 y 4:
1
Eigenvectores de A asociados a 1 :�
6 �18
3 �9
��
k1
k2
�
=
�
0
0
�
,
�
1 �3
0 0
��
k1
k2
�
=
�
0
0
�
, k1 � 3k2 = 0
Los eigenvectores de A asociados a 1 son �
�
3
1
�
; � 6= 0:
Eigenvectores de A asociados a 4 :�
9 �18
3 �6
��
k1
k2
�
=
�
0
0
�
,
�
1 �2
0 0
��
k1
k2
�
=
�
0
0
�
, k1 � 2k2 = 0
Los eigenvectores de A asociados a 4 son �
�
2
1
�
; � 6= 0:
Luego,
�
1;
�
3
1
��
y
�
4;
�
2
1
��
son eigenpares de A:
Ejemplo 2
Hallamos los eigenvalores y los eigenvectores de A =
�
6 �1
5 4
�
:
Eigenvalores de A :
det
�
�� 6 1
�5 �� 4
�
= 0, �2 � 10 + 29 = 0
Los eigenvalores de A son 5 + 2i y 5� 2i:
Eigenvectores de A asociados a 5 + 2i :�
�1 + 2i 1
�5 1 + 2i
��
k1
k2
�
=
�
0
0
�
�
�1 + 2i 1
0 0
��
k1
k2
�
=
�
0
0
�
, (�1 + 2i) k1 + k2 = 0
Los eigenvectores de A asociados a 5+2i son �
�
1
1� 2i
�
; � 2 C�f0g :
2
Eigenvectores de A asociados a 5� 2i :�
�1� 2i 1
�5 1� 2i
��
k1
k2
�
=
�
0
0
�
�
�1� 2i 1
0 0
��
k1
k2
�
=
�
0
0
�
, (�1� 2i) k1 + k2 = 0
Los eigenvectores de A asociados a 5�2i son �
�
1
1 + 2i
�
; � 2 C�f0g :
Por lo tanto,
�
5 + 2i;
�
1
1� 2i
��
y
�
5� 2i;
�
1
1 + 2i
��
son eigen-
pares de A:
3
Sistemas lineales homogéneos
Estudiamos un tipo particular de sistema de n ecuaciones diferenciales de
primer orden con n funciones incógnitas x1(t); x2(t); : : : ; xn(t):8>>>>>>><>>>>>>>:
dx1
dt
= a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn
dx2
dt
= a21x1 + a22x2 + � � �+ a2nxn
...
...
dxn
dt
= an1x1 + an2x2 + � � �+ annxn
; �1 < t < +1
llamado un sistema lineal homogéneo (con coe�cientes constantes).
Para abreviar, lo indicamos por las siglas SLH. Su forma matricial es
dX
dt
= AX; �1 < t < +1
donde A =
0BBB@
a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n
...
...
...
an1 an2 � � � ann
1CCCA ; X =
0BBB@
x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
1CCCA y dXdt =
0BBB@
x01(t)
x02(t)
...
x0n(t)
1CCCA :
Lema Fundamental
Si (�;K) es un eigenpar de A; entonces Ke�t es una solución particular
del SLH.
Comentario
Ke�t es una eigenfunción del operador
d
dt
asociada al eigenvalor �; i.e.,
d
dt
�
Ke�t
�
= �
�
Ke�t
�
Eigenvalores reales simples
Teorema (solución de un SLH con eigenvalores reales simples)
Si A tiene n eigenvalores reales �1; �2; : : : �n simples (i.e., distintos) y los
eigenvectores asociados a cada uno de ellos son respectivamenteK1;K2; : : :Kn;
entonces la solución general del SLH es
X(t) = c1K1e
�1t + c2K2e
�2t + � � � cnKne�nt; c1; c2; : : : cn 2 R
4
X(t) es la combinación lineal de las eigenfunciones Ke�t asociadas a los
eigenpares simples (�;K) :
Ejemplo
Hallamos la solución general de
dX
dt
=
�
2 3
2 1
�
X:
Los eigenvalores de
�
2 3
2 1
�
son �1; 4 y los eigenvectores asociados son
respectivamente
�
1
�1
�
;
�
3
2
�
:
Luego, la solución general del SLH es
X(t) = c1
�
1
�1
�
e�t + c2
�
3
2
�
e4t; c1; c2 2 R
Eigenvalores reales múltiples
Teorema 1
Si A tiene algún eigenvalor real �0 con multiplicidad � (1 < � � n) y
existen � eigenvectores LI�s asociados a �0; e.g., K1;K2; : : :K�; entonces la
solución general del SLH es
X(t) = c1K1e
�0t + c2K2e
�0t + � � � c�K�e�0t + S(t); c1; c2; : : : c� 2 R
donde S(t) es la CL de las eigenfunciones Ke�t asociadas a los eigenpares
simples (�;K) :
Ejemplo
Hallamos la solución general de
dX
dt
=
0@ 1 �2 2�2 1 �2
2 �2 1
1AX:
Los eigenvalores de
0@ 1 �2 2�2 1 �2
2 �2 1
1A son �0 = �1 (doble); �1 = 5:
El eigenvalor �1 tiene dos eigenvectores Li�s asociados
0@ 11
0
1A y
0@ 01
1
1A :
Un eigenvector asociado al eigenvalor 5 es
0@ 1�1
1
1A :
5
Luego, la solución general del SLH es
X(t) = c1
0@ 11
0
1A e�t + c2
0@ 01
1
1A e�t + c3
0@ 1�1
1
1A e5t; c1; c2; c3 2 R
Teorema 2
Si A tiene algún eigenvalor real �0 con multiplicidad 2 y existe sólo 1
eigenvector K0 LI asociado a �0; entonces la solución general del SLH es
X(t) = c1K0e
�0t + c2 (K0t+P) e
�0t + S(t); c1; c2 2 R
donde P 2 Rn�1 satisface la ecuación (�0I � A)P = �K0 y S(t) es la CL de
las eigenfunciones Ke�t asociadas a los eigenpares simples (�;K) :
Ejemplo
Hallamos la solución general de
dX
dt
=
�
3 �18
2 �9
�
X:
El único eigenvalor de
�
3 �18
2 �9
�
es �0 = �3 (doble) y tiene asociado
sólo 1 eigenvector LI K0 =
�
3
1
�
: La solución general del SLH es
X(t) = c1K0e
�0t + c2 (K0t+P) e
�0t; c1; c2 2 R
donde P 2 R2�1 satisface la ecuación (�3I � A)P = �
�
3
1
�
: Una solución
particular de esta ecuación es P =
�
1=2
0
�
:
Luego, la solución general del SLH
X(t) = c1
�
3
1
�
e�3t + c2
��
3
1
�
t+
�
1=2
0
��
e�3t; c1; c2 2 R
Teorema 3
Si A tiene algún eigenvalor real �0 con multiplicidad 3 y existe sólo 1
eigenvector K0 LI asociado a �0; entonces la solución general del SLH es
X(t) = c1K0e
�0t + c2 (K0t+P) e
�0t
+ c3
�
K0
t2
2!
+P
t
1!
+Q
�
e�0t + S(t); c1; c2; c3 2 R
6
donde P; Q 2 Rn�1 satisfacen las ecuaciones
(�0I � A)P = �K0; (�0I � A)Q = �P
y S(t) es la CL de las eigenfunciones Ke�t asociadas a los eigenpares simples
(�;K) :
Eigenvalores complejos
Teorema (solución de un SLH con eigenvalores complejos sim-
ples)
Si A tiene algún eigenvalor complejo �0 = � + i� (� > 0) y K0 es un
eigenvector asociado a �0; entonces dos soluciones complejas LI�s del SLH
son
K0e
�0t; K0e
�0t
y dos soluciones reales LI�s del SLH son
Re
�
K0e
�0t
�
; Im
�
K0e
�0t
�
Fórmulas útiles
Re
�
K0e
�0t
�
= [Re(K0) cos �t� Im(K0) sin �t] e�t;
Im
�
K0e
�0t
�
= [Im(K0) cos �t+Re(K0) sin �t] e
�t
Ejemplo
Hallamos la solución general real y compleja de
dX
dt
=
�
2 8
�1 �2
�
X:
Los eigenvalores de
�
2 8
�1 �2
�
son �0 = 2i; �0 = �2i y un eigenvector
asociado a �0 es K0 =
�
2 + 2i
�1
�
:
La solución general compleja del SLH es
Xc(t) = c1
�
2 + 2i
�1
�
e2it + c2
�
2� 2i
�1
�
e�2it; c1; c2 2 C
La solución general real del SLH es
Xr(t) = c1Re
��
2 + 2i
�1
�
e2it
�
+ c2 Im
��
2 + 2i
�1
�
e2it
�
; c1; c2 2 R
7
Xr(t) = c2
��
2
�1
�
cos 2t�
�
2
0
�
sin 2t
�
e0t
+c2
��
2
0
�
cos 2t+
�
2
�1
�
sin 2t
�
e0t
Xr(t) = c1
�
2 cos 2t� 2 sin 2t
� cos 2t
�
+ c2
�
2 cos 2t+ 2 sin 2t
� sin 2t
�
; c1; c2 2 R
8