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/ Regla: forma componente de un vector Sea v un vector con un punto inicial y un punto final . Entonces podemos expresar v en forma de componente como . Expresando vectores en forma de componente Expresa el vector v con el punto inicial y el punto final en forma de componente. Para encontrar la magnitud de un vector, calculamos la distancia entre su punto inicial y su punto final. La magnitud del vector se denota , o , y se puede calcular utilizando la fórmula Observa que debido a que este vector está escrito en forma de componente, es equivalente a un vector en posición estándar, con su punto inicial en el punto de origen y final . Por lo tanto, es suficiente calcular la magnitud del vector en posición estándar. Usando la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre el punto inicial y el punto final , tenemos (x , y )i i (x , y )t t v = ⟨x −x , y −y ⟩t i t i (−3, 4) (1, 2) v = ⟨x, y⟩ ∥v∥ ∣v∣ ∥v∥ = x + y2 2 (x, y) (0, 0) (x, y) 125 / Con base en esta fórmula, está claro que para cualquier vector v, y si y solo si v = 0. La magnitud de un vector también se puede derivar usando el teorema de Pitágoras, como en la siguiente figura. Figura 2.13. Si usas los componentes de un vector para definir un triángulo rectángulo, la magnitud del vector es la longitud de la hipotenusa del triángulo. Hemos definido la multiplicación por un escalar y la suma de vectores geométricamente. La expresión de vectores en forma de componentes nos permite realizar estas mismas operaciones algebraicamente. DEFINICIÓN Sean y vectores, y sea un escalar. Multiplicación escalar: Suma de vectores: ∥v∥ = (x− 0) + (y − 0)2 2 = x + y2 2 ∥v∥ ≥ 0 ∥v∥ = 0 v = ⟨x , y ⟩1 1 w = ⟨x , y ⟩2 2 k kv = ⟨kx , ky ⟩1 1 v +w = ⟨x , y ⟩ +1 1 ⟨x , y ⟩2 2 = ⟨x +1 x , y +2 1 y ⟩2 126 / Realizar operaciones en forma componente Sea v el vector con el punto inicial y el punto final , y sea . Expresa v en forma de componente y encuentra . Luego, usando álgebra, encuentra 1. v + w, 2. 3v 3. v − 2w. Ahora que hemos establecido las reglas básicas de la aritmética vectorial, podemos establecer las propiedades de las operaciones vectoriales. Probaremos dos de estas propiedades. Las otras pueden ser probadas de manera similar. TEOREMA 2.1 Propiedades de las operaciones vectoriales Sean u, v y w vectores en un plano. Sean y escalares. (2, 5) (8, 13) w = ⟨−2, 4⟩ ∥v∥ r s 127
