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Parcial 3 (Solucionado)
Rosa María
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Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas Cursos de Servicios para Ude@ Tiempo para la realización de la prueba: 2 Horas Calificación Nombre: Documento: Parcial 3 Álgebra lineal Valor:25 % Sede: Profesor: Grupo: Fecha: ES OBLIGATORIO DILIGENCIAR TODOS LOS CAMPOS DEL ENCABEZADO DEL EXÁMEN La interpretación del examen hace parte de la evaluación, por tal motivo no se responden preguntas durante la realización de la prueba. Se permite el uso de calculadora no programable. El uso de cualquier otro dispositivo electrónico como celulares, tablets, smartwatch, etc, además de notas de clase, tablas de fórmulas, apuntes libros, etc implicará la anulación de la prueba. Los procedimientos empleados para hallar las respuestas a los ejercicios deben quedar registrados en esta hoja, ordenados y legibles para el profesor. NO SE ACEPTAN HOJAS ADICIONALES. Respuestas sin justificación o no legibles se califican con cero. LEA CUIDADOSAMENTE CADA UNO DE LOS ENUNCIADOS 1. Determine cuales de los siguientes enunciados son verda- deros y cuales falsos. Justifique sus respuestas. a) ( )(2 Puntos) Si T : R3 −→ R2 es una transfor- mación lineal y T (1, 2, 1) = (0, 0), T (2, 1, 5) = (0, 0) entonces T (3, 3, 0) 6= (0, 0). Justificación: b) ( )(2 Puntos) Todo isomorfismo es una isometŕıa. Justificación: c) ( )(2 Puntos) Si T : V −→ W es transformación lineal inyectiva entonces dim(V ) = dim(W ). Justificación: d) ( )(2 Puntos) Todo par de espacios vectoriales iso- morfos deben tener una base en común. Justificación: 2. (12 Puntos) Sea T : R2 → R3 una transformación lineal tal que T ( 2 −1 ) = 13 4 y T (3 1 ) = −32 1 . Calcular T ( 0 5 ) . Justificación: 1 Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Línea Xawer Línea Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz 3. (15 Puntos) Sea V el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2× 2. Demostrar que V es isomorfo a R3, exhibiendo un isomorfismo entre estos dos espacios. Justificación: 4. (15 Puntos) Encuentre el nucleo, la imagen, rango y nu- lidad de la siguiente transformación lineal T : R2 ⇒ R3 tal que T (x, y) = (x− y, x, 3x + 2y). Justificación: 2 Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz Xawer Lápiz
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