PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-44

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Solución 
Sea X: Variable aleatoria continua (duración en horas) con distribución Normal: 
X ∼ N(10, 2) 
Entonces Z = X 10
2
− tiene distribución Normal Estándar: Z ∼ N(0, 1) 
a) P(X ≤ 9) = P(Z ≤ 9 10
2
− ) = P(Z ≤ –0.5) = F(–0.5) = 0.3085 = 30.85% 
b) P(11 ≤ X ≤ 12) = P( 11 10
2
− ≤ Z ≤ 12 10
2
− ) = P(0.5 ≤ Z ≤ 1) = F(1) – F(0.5) 
 = 0.8413 – 0.6915 = 0.1498 
 
 
Ejemplo 
Sea X ∼ N(10, σ). Encuentre σ tal que P(X ≤ 9) = 0.025 
 
Solución 
 
P(X ≤ 9) = P(Z ≤ z) = F(z) = 0.025 ⇒ z = –1.96 
 z = 
σ
µ−x
 ⇒ –1.96 = 9 10−
σ
 ⇒ σ = 0.5102 
 
 
Ejercicio 
Sea X ∼ N(300, 50). Encuentre el valor de k tal que P(X>k) = 0.1075 
 
Solución 
 
P(X > k) = 0.1075 ⇒ P(Z > z) = 0.1075 ⇒ P(Z ≤ z) = 1 – 0.1075 = 0.8925 
 P(Z ≤ z) = F(z) = 0.8925 ⇒ z = 1.24 
129 
 
 
 
Pero, z = k − µ
σ
 , por lo tanto 1.24 = k 300
50
− ⇒ k = 362 
 
 
7.2.3 VALORES REFERENCIALES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 
Hay ciertos valores de la distribución Normal de uso frecuente. 
 
Si X es una variable aleatoria con distribución Normal, la probabilidad que tome valores en un 
intervalo centrado en µ, hasta una distancia de una desviación estándar σ es aproximadamente 
68%, hasta una distancia de 2σ es aproximadamente 95% y hasta una distancia de 3σ es 
cercano a 100% como se demuestra a continuación: 
 
 
1) P(µ – σ ≤ X < µ + σ) = P(
σ
µ−σ−µ )(
 ≤ Z ≤ 
σ
µ−σ+µ )(
) = P( –1 ≤ Z ≤ 1) 
 = F(1) – F(–1) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 = 68.26% 
 
2) P(µ – 2σ ≤ X < µ + 2σ) = P(
σ
µ−σ−µ )2(
 ≤ Z ≤ 
σ
µ−σ+µ )2(
) =P( –2 ≤ Z ≤ 2) 
 = F(2) – F(–2) = 0.9773 – 0.0228 = 0.9545 = 95.45% 
 
3) P(µ – 3σ ≤ X < µ + 3σ) = P(
σ
µ−σ−µ )3(
 ≤ Z ≤ 
σ
µ−σ+µ )3(
) =P( –3 ≤ Z ≤ 3) 
 = F(3) – F(–3) = 0.9987 – 0.0014 = 0.9973 = 99.73% 
 
 
 
7.2.4 APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 
CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR 
Sea X una variable aleatoria discreta con distribución Binomial con media µ = np, y varianza 
σ2 = np(1-p) 
 
Entonces, el límite de la distribución de la variable aleatoria 
 Z = 
σ
µ−X
=
)( p1np
npX
−
−
, cuando n→∞, 
Es la distribución Normal Estándar: N(0,1) 
 
La demostración es una aplicación del Teorema del Límite Central, uno de los teoremas 
fundamentales de la estadística y que será enunciado posteriormente 
 
La bibliografía estadística establece que la aproximación es aceptable aún con valores pequeños 
de n, siempre que p esté cerca de 0.5, o si simultáneamente: 
 
 
np > 5 y n(1-p) > 5 
 
 
130 
 
 
 
Ejemplo 
En una fábrica, el 20% de los artículos salen defectuosos. Calcule la probabilidad que en un lote 
de 100 artículos elegidos al azar, 15 sean defectuosos. 
 
Respuesta 
Sea X: variable aleatoria discreta con distribución Binomial, con n=20, p=0.2 
 
El cálculo con el modelo de la distribución Binomial puede ser impráctico: 
 
 P(X=x) = 





x
n
 px (1-p)n-x ⇒ P(X=15) =
100
15
 
 
 
 (0.2)15 (0.8)85 
 
Se observa que np = 100(0.2) = 20, n(1–p) = 100(0.8) = 80. 
 
Siendo ambos productos mayores a 5, según el criterio dado, la distribución Normal Estándar 
será una aproximación aceptable: 
 
 Z = X − µ
σ
= X np
np(1 p)
−
−
= X 100(0.20)
100(0.20)(0.80)
− = X 20
4
− 
 
 
 
P(X = 15) ≅ P( 14.5 15.5Z− µ − µ≤ ≤
σ σ
) = P( 14.5 20 15.5 20Z
4 4
− −
≤ ≤ ) 
 = P(–1.375 ≤ Z ≤ –1.125) = F(–1.125) – F(–1.375) 
 
 = 0.130 – 0.084 = 0.046 = 4.6% 
 
Observe la corrección que se realiza al tomar el valor discreto para usarlo en la distribución 
Normal. Para la distribución Normal se considera que un valor discreto se extiende entre las 
mitades de los valores adyacentes: el valor 15 de la distribución Binomial corresponde al 
intervalo (14.5, 15.5) para la distribución Normal. 
 
 
 
	7 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
	7.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL
	7.2.3 VALORES REFERENCIALES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
	7.2.4 APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIALCON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR