introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-26

Vista previa del material en texto

52
ENTRENADOR PERSONALMIMI
Los muchachos de verano
¿Los campeones de béisbol de hoy son mejores 
que los de “ayer”? ¿Los jugadores de la Liga Na-
cional batean mejor que los de la Liga America-
na? El estudio práctico del fi nal de este capítulo 
contiene los promedios de bateo de campeones 
de las ligas mayores. Se pueden usar medidas nu-
méricas descriptivas para contestar éstas y otras 
preguntas similares.
Descripción 
de datos con 
medidas 
numéricas © Stu Griffi th/Dreamstime
2
OBJETIVOS GENERALES
Las gráfi cas son sumamente útiles para la descripción 
visual de un conjunto de datos, pero no siempre son la 
mejor herramienta cuando se desea hacer inferencias 
acerca de una población a partir de la información conte-
nida en una muestra. Para este propósito, es mejor usar 
medidas numéricas para construir una imagen mental de 
los datos.
ÍNDICE DEL CAPÍTULO
● Gráfi cas de caja (2.7)
● Medidas de centro: media, mediana y moda (2.2)
● Medidas de posición relativa: puntajes z, percentiles, 
cuartiles y el rango intercuartil (2.6)
● Medidas de variabilidad: rango, varianza y desviación 
estándar (2.3)
● Teorema de Chebyshev y la Regla Empírica (2.4)
¿Cómo calculo cuartiles muestrales?
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 52Probabilidad_Mendenhall_02.indd 52 5/17/10 11:37:13 AM5/17/10 11:37:13 AM
 www.FreeLibros.me
 2.2 MEDIDAS DE CENTRO ❍ 53
DESCRIPCIÓN DE UN CONJUNTO DE 
DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
Las gráficas pueden ayudar a describir la forma básica de una distribución de datos. 
Sabemos que “una imagen vale por mil palabras” pero hay limitaciones para usar grá-
ficas. Supongamos que usted necesita presentar sus datos a un grupo de personas y que 
el foco del proyector de imágenes se quema o que usted necesita describir sus datos por 
teléfono; no hay modo de ver las gráficas. Necesita entonces hallar otra forma de llevar 
la imagen mental de los datos a su audiencia.
Una segunda limitación es que las gráficas son un tanto imprecisas para usar en infe-
rencia estadística. Por ejemplo, supongamos que desea usar un histograma muestral para 
hacer inferencias acerca de un histograma poblacional. ¿Cómo puede medir las similitu-
des y diferencias entre los dos histogramas en alguna forma concreta? Si son idénticas, 
podría usted decir que son las mismas, pero, si son diferentes, es difícil describir el grado 
de diferencia.
Una forma de superar estos problemas es usar medidas numéricas, que se pueden 
calcular para una muestra o una población de mediciones. Se pueden usar los datos 
para calcular un conjunto de números que llevarán una buena imagen mental de la dis-
tribución de frecuencia. Estas mediciones se llaman parámetros cuando se asocian con 
la población y se denominan estadísticas cuando se calculan a partir de mediciones 
muestrales.
Defi nición Las mediciones descriptivas numéricas asociadas con una población de 
mediciones se llaman parámetros; las calculadas a partir de mediciones muestrales 
reciben el nombre de estadísticas.
MEDIDAS DE CENTRO
En el capítulo 1 introdujimos gráficas de puntos, gráficas de tallo y hoja e histogramas 
para describir la distribución de un conjunto de mediciones en una variable cuantita-
tiva x. El eje horizontal presenta los valores de x, y los datos están “distribuidos” a lo 
largo de esta recta horizontal. Una de las primeras mediciones numéricas importantes es 
una medida de centro, es decir, una medida a lo largo del eje horizontal que localiza el 
centro de la distribución.
Los datos de peso al nacer presentados en la tabla 1.9 iban de un punto bajo de 5.6 a uno 
alto de 9.4, con el centro del histograma situado en la cercanía de 7.5 (véase la figura 2.1). 
Consideremos algunas reglas para localizar el centro de una distribución de mediciones.
2.1
2.2
FIGURA 2.1
Centro de los datos de 
peso al nacer
●
F
re
cu
en
ci
a 
re
la
ti
va
Pesos al nacer
Centro
5.6 6.1 6.6 7.1 7.6 8.1 8.6 9.1 9.6
8/30
7/30
6/30
5/30
4/30
3/30
2/30
1/30
0
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 53Probabilidad_Mendenhall_02.indd 53 5/14/10 8:15:56 AM5/14/10 8:15:56 AM
 www.FreeLibros.me
54 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
El promedio aritmético de un conjunto de mediciones es una medida de centro muy 
común y útil. Es frecuente que esta medida se conozca como media aritmética o sim-
plemente media, de un conjunto de mediciones. Para distinguir entre la media para la 
muestra y la media para la población, usamos el símbolo 
_
 x (x barra) para una media 
muestral y el símbolo m para la media de una población.
Defi nición La media aritmética o promedio de un conjunto de n mediciones es 
igual a la suma de las mediciones dividida entre n.
Como es frecuente que las fórmulas estadísticas comprendan la suma de números o 
“sumarlos”, usamos un símbolo para indicar el proceso de sumar. Suponga que hay n 
mediciones en la variable x y que las llamamos x1, x2, …, xn. Para sumar las n medicio-
nes, usamos esta notación abreviada:
�
n
i�1
xi que signifi ca x1 
 x2 
 x3 
 � � � 
 xn
La letra griega mayúscula (8) pide sumar los términos que aparezcan a su derecha, 
empezando con el número debajo de la sigma (i � 1) y terminando con el número arriba 
(i � n). No obstante, como las sumas típicas en cálculos estadísticos se hacen casi siem-
pre sobre el conjunto total de n mediciones, se puede usar una notación más sencilla:
8xi que significa “la suma de todas las mediciones de x”
Usando esta notación, escribimos la fórmula para la media muestral:
NOTACIÓN
Media muestral: 
_
 x � 
8xi ___ n 
Media poblacional: m
Trace una gráfica de puntos para las n � 5 mediciones 2, 9, 11, 5, 6. Encuentre la media 
muestral y compare su valor con lo que usted pudiera considerar el “centro” de estas 
observaciones en la gráfica de puntos.
Solución La gráfica de puntos de la figura 2.2 parece estar centrada entre 6 y 8. Para 
hallar la media muestral, calcule
x� � 
8xi ___ n � 
2 
 9 
 11 
 5 
 6 _________________ 
5
 � 6.6
La estadística 
_
 x � 6.6 es el punto de equilibrio o fulcro que se muestra en la gráfi ca de 
puntos. Parece marcar el centro de los datos.
 2 4 6 8 10
Mediciones
FIGURA 2.2
Gráfi ca de puntos para el 
ejemplo 2.1
●
E J E M P L O 2.1
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 54Probabilidad_Mendenhall_02.indd 54 5/14/10 8:15:56 AM5/14/10 8:15:56 AM
 www.FreeLibros.me
	2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
	2.1 Descripción de un conjunto de datos con medidas numéricas
	2.2 Medidas de centro