introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-31

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De los cálculos de la tabla 2.3, el teorema establece que:
• Al menos ninguna de las mediciones está en el intervalo m � s a m 
 s.
• Al menos 3/4 de las mediciones están en el intervalo m � 2s a m 
 2s.
• Al menos 8/9 de las mediciones están en el intervalo m � 3s a m 
 3s.
Aun cuando el primer enunciado no es útil en absoluto, los otros dos valores de k dan 
valiosa información acerca de la proporción de mediciones que caen en ciertos interva-
los. Los valores k � 2 y k � 3 no son los únicos valores de k que se pueden usar; por 
ejemplo, la proporción de mediciones que caen dentro de k � 2.5 desviaciones estándar 
de la media es al menos 1 � [1/(2.5)2] � .84.
La media y varianza de una muestra de n � 25 mediciones son 75 y 100, respectiva-
mente. Use el teorema de Chebyshev para describir la distribución de mediciones.
Solución Nos dan 
_
 x � 75 y s2 � 100. La desviación estándar es s � �
____
 100 � 10. La 
distribución de mediciones está centrada alrededor de 
_
 x = 75, y el teorema de Chebyshev 
establece que:
• Al menos 3/4 de las 25 mediciones están en el intervalo 
_
 x 
 2s = 75 
 2(10), esto 
es, 55 a 95.
• Al menos 8/9 de las mediciones están en el intervalo 
_
 x 
 3s = 75 
 3(10), esto 
es, 45 a 105.
Como el teorema de Chebyshev se aplica a cualquier distribución, es muy conser-
vador. Ésta es la razón por la que hacemos hincapié en “al menos 1 � (1/k2)” en este 
teorema.
Otra regla para describir la variabilidad de un conjunto de datos no funciona para 
todos los conjuntos de datos, pero funciona muy bien para datos que “se apilan” en la 
conocida forma de montículo de la figura 2.11. Cuanto más cerca se encuentre la dis-
tribución a la curva en forma de montículo de la figura 2.11, más precisa será la regla. 
Como la distribución de datos en forma de montículo se presenta con frecuencia en la 
naturaleza, la regla se puede usar numerosas ocasiones en aplicaciones prácticas. Por 
esta razón, se denomina Regla empírica.
En la tabla 2.3 escogimos unos cuantos valores numéricos para k y calculamos 
[1 � (1/k2)].
TABLA 2.3 
●
 Valores ilustrativos de [1 � (1/k2)]
k 1 � (1/k2)
1 1 � 1 � 0
2 1 � 1/4 � 3/4
3 1 � 1/9 � 8/9
FIGURA 2.11
Distribución en forma 
de montículo
●
F
re
cu
en
ci
a 
re
la
tiv
a
x
E J E M P L O 2.6
 2.4 SOBRE LA SIGNIFICANCIA PRÁCTICA DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ❍ 67
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68 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
Regla empírica Dada una distribución de mediciones que tiene forma aproximada 
de montículo:
El intervalo (m 
 s) contiene aproximadamente 68% de las mediciones.
El intervalo (m 
 2s) contiene aproximadamente 95% de las mediciones. 
El intervalo (m 
 3s) contiene aproximadamente 99.7% de las mediciones.
La distribución en forma de montículo que se muestra en la figura 2.11 se conoce común-
mente como distribución normal y se estudiará en detalle en el capítulo 6.
En un estudio de tiempo efectuado en una planta manufacturera, el tiempo para com-
pletar una operación especificada se mide para cada uno de los n � 40 trabajadores. Se 
encuentra que la media y la desviación estándar son 12.8 y 1.7, respectivamente. Des-
criba los datos muestrales usando la Regla empírica.
Solución Para describir los datos, calcule estos intervalos:
 (x� 
 s) � 12.8 
 1.7 o 11.1 a 14.5
(x� 
 2s) � 12.8 
 2(1.7) o 9.4 a 16.2
(x� 
 3s) � 12.8 
 3(1.7) o 7.7 a 17.9
De acuerdo con la Regla empírica, se espera que aproximadamente 68% de las medicio-
nes caigan en el intervalo de 11.1 a 14.5, aproximadamente 95% caigan en el intervalo 
de 9.4 a 16.2, y aproximadamente 99.7% caigan en el intervalo de 7.7 a 17.9.
Si hay duda de que la distribución de mediciones tenga forma de montículo o si 
se desea ser conservador por alguna razón, se puede aplicar el teorema de Chebyshev 
y estar absolutamente seguro de sus afi rmaciones. El teorema de Chebyshev dice que 
al menos 3/4 de las mediciones caen en el intervalo de 9.4 a 16.2 y al menos 8/9 en el 
intervalo de 7.7 a 17.9.
Los maestros-estudiantes son capacitados para desarrollar planes de lecciones, en la su-
posición de que el plan escrito les ayudará a trabajar de manera satisfactoria en el salón 
de clases. En un estudio para evaluar la relación entre planes de lección escritos y su im-
plementación en el salón de clases, se calificaron 25 planes de lección en una escala de 0 a 
34 de acuerdo a una Lista de verificación de Plan de lección. Las 25 calificaciones se 
muestran en la tabla 2.4. Use el teorema de Chebyshev y la Regla empírica (si es aplica-
ble) para describir la distribución de estas calificaciones de evaluación.
Recuerde estos tres números:
68—95—99.7
CONSEJOMIMI
Solución Use su calculadora o las fórmulas computacionales para verificar que 
_
 x = 
21.6 y s � 5.5. Los intervalos apropiados están calculados y aparecen en la tabla 2.5. 
También hemos consultado las 25 mediciones originales y contado el número real de 
mediciones que caen en cada uno de estos intervalos. Estas frecuencias y frecuencias 
relativas aparecen en la tabla 2.5.
TABLA 2.4 
●
 Califi caciones para evaluación de Plan de lección
26.1 26.0 14.5 29.3 19.7
22.1 21.2 26.6 31.9 25.0
15.9 20.8 20.2 17.8 13.3
25.6 26.5 15.7 22.1 13.8
29.0 21.3 23.5 22.1 10.2
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2.7
2.8
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¿Es aplicable el teorema de Chebyshev? Sí, porque se puede usar para cualquier con-
junto de datos. De acuerdo con el teorema de Chebyshev,
• al menos 3/4 de las mediciones caerán entre 10.6 y 32.6.
• al menos 8/9 de las mediciones caerán entre 5.1 y 38.1.
Se puede ver en la tabla 2.5 que el teorema de Chebyshev es verdadero para estos datos. 
De hecho, las proporciones de mediciones que caen en los intervalos especificados exce-
den el límite inferior dado por este teorema.
¿Es aplicable la Regla empírica? Usted puede comprobarlo por sí mismo si traza una 
gráfica, ya sea una gráfica de tallo y hoja o un histograma. El histograma MINITAB de la 
figura 2.12 muestra que la distribución relativamente tiene forma de montículo, de modo 
que la Regla empírica debe funcionar relativamente bien. Esto es,
• aproximadamente 68% de las mediciones caerán entre 16.1 y 27.1.
• aproximadamente 95% de las mediciones caerán entre 10.6 y 32.6.
• aproximadamente 99.7% de las mediciones caerán entre 5.1 y 38.1.
Las frecuencias relativas de la tabla 2.5 se aproximan mucho a las especificadas por la 
Regla empírica.
TABLA 2.5 
●
 Intervalos 
__
 x � ks para los datos de la tabla 2.4
 Frecuencia
k Intervalo x 
 ks en intervalo Frecuencia relativa
1 16.1–27.1 16 .64
2 10.6–32.6 24 .96
3 5.1–38.1 25 1.00
Regla empírica ⇔ datos en 
forma de montículo.
Chebyshev ⇔ datos en 
cualquier forma.
CONSEJOMIMI
USO DEL TEOREMA DE CHEBYSHEV 
Y LA REGLA EMPÍRICA
El teorema de Chebyshev se puede demostrar matemáticamente. Se aplica a cual-
quier conjunto de mediciones, muestra o población, grande o pequeño, en forma de 
montículo o sesgado.
El teorema de Chebyshev da un límite inferior a la fracción de mediciones a 
encontrar en un intervalo construido como 
_
 x 
 ks. ¡Al menos 1 � (1/k2) de las medi-
ciones caerán en este intervalo, y probablemente más!
FIGURA 2.12
Histograma MINITAB para 
el ejemplo 2.8
●
F
re
cu
en
ci
a 
re
la
ti
va
Calificaciones
 8.5 14.5 20.5 26.5 32.5
6/25
4/25
2/25
0
 2.4 SOBRE LA SIGNIFICANCIA PRÁCTICA DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ❍ 69
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