introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-45

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Nuestros puntos (x, y) no caen en una recta, pero muestran una tendencia que podría 
describirse como modelo lineal. Podemos describir esta tendencia si ajustamos una rec-
ta a los puntos en la mejor forma que podamos. Esta recta de mejor ajuste que relaciona 
a y con x y que se denomina recta de regresión, o recta de mínimos cuadrados, se 
encuentra al reducir al mínimo la suma de las diferencias cuadradas entre los puntos de 
datos y la recta misma, como se muestra en la figura 3.13. Las fórmulas para calcular b 
y a, que se derivan matemáticamente, se muestran a continuación.
FÓRMULAS COMPUTACIONALES PARA LA RECTA 
DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS
b � r � sy�sx� y a � y� � bx�
y la recta de regresión de mínimos cuadrados es: y � a 
 bx
APPLETMIMI
Se puede ver el efecto de cambiar la pendiente y la intersección y de una recta si se usa 
el applet llamado How a Line Works (cómo funciona una recta). Use su mouse 
para mover el apuntador en el lado derecho de la gráfica de dispersión. Cuando 
se mueva el apuntador, cambiará la pendiente de la recta que se muestra como el la-
do vertical del triángulo verde (gris claro en la figura 3.12). Moviendo el apuntador en el 
lado izquierdo del applet hace que cambie la intersección y, mostrada en rojo (azul 
en la figura 3.12). ¿Cuál es la pendiente e intersección y para la recta que se mues-
tra en el applet de la figura 3.12? Usted usará este applet otra vez para la sección de 
Ejercicios Mi Applet del final de este capítulo.
FIGURA 3.12
Applet llamado How a 
Line Works
●
FIGURA 3.13
Recta de mejor ajuste
●
x
y
10
y = a + bx
2 3 4 5
1
2
3
 3.4 MEDIDAS NUMÉRICAS PARA DATOS CUANTITATIVOS BIVARIADOS ❍ 109
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110 ❍ CAPÍTULO 3 DESCRIPCIÓN DE DATOS BIVARIADOS
Como sx y sy son positivas, b y r tienen el mismo signo, de modo que:
• Cuando r es positiva, también lo es b, y la recta es creciente con x.
• Cuando r es negativa, también lo es b, y la recta es decreciente con x.
• Cuando r es cercana a 0, entonces b es cercana a 0.
Encuentre la recta de mejor ajuste que relacione y = salario inicial por hora con x = 
número de años de experiencia en el trabajo para los datos siguientes. Grafique la recta 
y los puntos de datos en la misma gráfica.
x 2 3 4 5 6 7
y $6.00 7.50 8.00 12.00 13.00 15.50
Solución Use el método de introducir datos en su calculadora para hallar estas esta-
dísticas descriptivas para el conjunto de datos bivariados:
x� � 4.5 y� � 10.333 sx � 1.871 sy � 3.710 r � .980
Entonces
b � r � sy�sx� � .980��
3
1
.
.
7
8
1
7
0
1
�� � 1.9432389 � 1.943
y
a � y� � bx� � 10.333 � 1.943(4.5) � 1.590
Por lo tanto, la recta de mejor ajuste es y � 1.590 
 1.943x. La gráfica de la recta de 
regresión y los puntos reales de datos se muestran en la figura 3.14.
La recta de mejor ajuste se puede usar para estimar o predecir el valor de la variable 
y cuando se conoce el valor de x. Por ejemplo, si una persona que solicita un empleo 
tiene tres años de experiencia en el trabajo (x), ¿cuál sería el sueldo inicial por hora (y) 
que pronosticaría usted? De la recta de mejor ajuste de la figura 3.14, la mejor estima-
ción sería
y � a 
 bx � 1.590 
 1.943(3) � 7.419
Recuerde que r y b tienen el 
mismo signo.
CONSEJOMIMI
FIGURA 3.14
Recta ajustada y puntos de 
datos para el ejemplo 3.7
●
2 3 4 5 6 7
15.0
12.5
10.0
7.5
5.0
y
x
y � 1.590 
 1.943x
E J E M P L O 3.7
Use la recta de regresión 
para predecir y para un valor 
determinado de x.
CONSEJOMIMI
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¿Cómo calculo el coefi ciente de correlación?
1. Primero, genere una tabla o use su calculadora para hallar Sx, Sy y Sxy.
2. Calcule la covarianza, sxy.
3. Use su calculadora o la fórmula computacional del capítulo 2 para calcular sx 
y sy.
4. Calcule r � 
sxy
�
sxsy
.
¿Cómo calculo la recta de regresión?
1. Primero, calcule 
_
 y y 
_
 x . A continuación, calcule r � 
sxy
�
sxsy
.
2. Encuentre la pendiente, b � r � sy�sx � y la intersección y, a � 
_
 y � b 
_
 x .
3. Escriba la recta de regresión al sustituir valores de a y b en la ecuación: 
y � a 
 bx.
Repertorio de ejercicios
A. A continuación aparece un conjunto sencillo de datos bivariados. Llene los espa-
cios en blanco para hallar el coefi ciente de correlación.
x y xy Calcule: Covarianza
0 1 n � 
2 5 sx � 
4 2 sy � Coefi ciente de correlación
Sx � Sy � Sxy � r � 
sxy
�sxsy
 � 
B. Use la información de la parte A y encuentre la recta de regresión.
De la parte A De la parte A Calcule: Pendiente Intersección y
Sx � sx � x� � 
Sy � sy � y� � a � y� � bx� � 
 r � Recta de regresión: y � 
Las respuestas se encuentran al fi nal de este libro.
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¿Cuándo se debe describir la relación lineal entre x y y usando el coeficiente de corre-
lación r, y cuándo se debe usar la recta de regresión y � a 
 ab? El método de regresión 
se usa cuando los valores de x se fijan por anticipado y entonces se mide el valor corres-
pondiente de y. El método de correlación se emplea cuando se selecciona una unidad 
experimental al azar y luego se hacen mediciones en las variables x y y. Este punto téc-
nico se retoma en el capítulo 12, que aborda el análisis de regresión.
Sxy � (Sx)(Sx) _______ n
 
sxy � 
n � 1
� 
b � r� sy�sx � � 
 3.4 MEDIDAS NUMÉRICAS PARA DATOS CUANTITATIVOS BIVARIADOS ❍ 111
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