introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-55

Vista previa del material en texto

4.4 REGLAS ÚTILES DE CONTEO (OPCIONAL) ❍ 139
¿Cuántos eventos simples hay en el espacio muestral cuando se lanzan al aire tres mo-
nedas?
Solución Cada moneda puede caer en una de dos formas. Por tanto, el número de 
eventos simples es
(2)(2)(2) � 8
El chofer de un camión puede tomar tres rutas de la ciudad A a la ciudad B, cuatro de la 
ciudad B a la C y tres de la ciudad C a la D. Si, cuando viaja de A a D, el chofer debe ir 
de A a B a C a D, ¿cuántas rutas posibles de A a D hay?
Solución Sean
n1 � número de rutas de A a B � 3
n2 � número de rutas de B a C � 4
n3 � número de rutas de C a D � 3
Entonces, el número total de formas para construir una ruta completa, tomando una 
secundaria desde cada uno de los tres grupos, (A a B), (B a C) y (C a D), es 
n1n2n3 � (3)(4)(3) � 36
Una segunda y útil regla de conteo se sigue de la Regla mn y comprende ordena-
mientos o permutaciones. Por ejemplo, supongamos que usted tiene tres libros, A, B 
y C, pero tiene espacio sólo para dos en su estante. ¿En cuántas formas puede usted 
seleccionar y acomodar los dos libros? Hay tres opciones para los dos libros, A y B, A y 
C, o B y C, pero cada uno de los pares se puede acomodar en dos formas en el estante. 
Todas las permutaciones de los dos libros, escogidas de tres, aparecen en la tabla 4.3. 
Entonces la Regla mn implica que hay seis formas, porque el primer libro se puede 
escoger en m � 3 formas y el segundo en n � 3 formas, de modo que el resultado es 
mn � 6.
E J E M P L O 4.10
E J E M P L O 4.11
TABLA 4.3 
●
 Permutaciones de dos libros escogidos de tres
Combinaciones de dos Reordenamiento o combinaciones
 AB BA
 AC CA
 BC CB 
¿En cuántas formas puede usted acomodar los tres libros en su estante? Hay las seis 
permutaciones:
ABC ACB BAC
BCA CAB CBA
Como el primer libro se puede escoger en n1 � 3 formas, el segundo en n2 � formas, y el 
tercero en n3 � 1 forma, el número total de ordenamientos es n1n2n3 � (3)(2)(1) � 6.
En lugar de aplicar la Regla mn cada vez, usted puede hallar el número de ordena-
mientos usando una fórmula general que involucra una notación factorial.
Probabilidad_Mendenhall_04.indd 139Probabilidad_Mendenhall_04.indd 139 5/14/10 8:48:46 AM5/14/10 8:48:46 AM
 www.FreeLibros.me
140 ❍ CAPÍTULO 4 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNA REGLA DE CONTEO PARA PERMUTACIONES
 El número de formas en que podemos acomodar n objetos distintos, tomándolos una 
cantidad r a la vez, es
Pnr � 
n! _______ 
(n � r)!
 
donde n! � n(n � 1)(n � 2) � � � (3)(2)(1) y 0! � 1.
Como se seleccionan r objetos, éste es un experimento de r-etapas. El primer objeto se 
puede escoger en n formas, el segundo en (n � 1) formas, el tercero en (n � 2) formas y 
el r-ésimo en (n � r � 1) formas. Podemos simplifi car esta engorrosa notación usando 
la regla de conteo para permutaciones porque
 n! _______ 
(n � r)!
 � 
n(n � 1)(n � 2) � � � (n � r � 1)(n � r) � � � (2)(1)
 __________________________________________ 
(n � r) � � � (2)(1)
 
 � n(n � 1) � � � (n � r � 1)
UN CASO ESPECIAL: ORDENAR n OBJETOS
El número de formas para ordenar todo un conjunto de n objetos distintos es Pnn � n!
Tres billetes de lotería se sacan de entre un total de 50. Si los billetes se han de distribuir 
a cada uno de tres empleados en el orden en que son sacados, el orden será importante. 
¿Cuántos eventos simples están asociados con el experimento?
Solución El número total de eventos simples es
P 503 � 
50! ___ 
47!
 � 50(49)(48) � 117600
Una máquina está compuesta de cinco partes que se pueden ensamblar en cualquier 
orden. Se ha de realizar una prueba para determinar el tiempo necesario para cada orden 
de ensamble. Si cada orden se ha de probar una vez, ¿cuántas pruebas deben efec-
tuarse?
Solución El número total de pruebas es
P 55 � 
5! __ 
0!
 � 5(4)(3)(2)(1) � 120
Cuando contamos el número de permutaciones de los dos libros escogidos para su 
estante, empleamos un método sistemático:
• Primero contamos el número de combinaciones o pares de libros a escoger.
• A continuación contamos el número de formas para ordenar los dos libros esco-
gidos en el estante.
A veces el orden o acomodo de los objetos no es importante, sino sólo los objetos que 
se escogen. En este caso, se puede usar una regla de conteo para combinaciones. Por 
ejemplo, puede que no nos importe el orden en que los libros se coloquen en el estante, 
E J E M P L O 4.12
E J E M P L O 4.13
Probabilidad_Mendenhall_04.indd 140Probabilidad_Mendenhall_04.indd 140 5/14/10 8:48:46 AM5/14/10 8:48:46 AM
 www.FreeLibros.me
 4.4 REGLAS ÚTILES DE CONTEO (OPCIONAL) ❍ 141
sino sólo cuáles libros podemos poner en el estante. Cuando una comisión de cinco per-
sonas se selecciona de entre un grupo de 12 estudiantes, el orden de la selección no es 
importante porque los cinco estudiantes serán miembros iguales de la comisión.
UNA REGLA DE CONTEO PARA COMBINACIONES
 El número de combinaciones distintas de n objetos distintos que se pueden formar, 
tomando r de ellos a un tiempo, es
C nr � 
n! _________ 
r!(n � r)!
 
El número de combinaciones y el número de permutaciones están relacionados:
C nr � 
Pnr __ 
r!
 
Se puede ver que Cnr resulta cuando se divide el número de permutaciones entre r!, el 
número de formas de reacomodar cada grupo distinto de r objetos escogidos de entre 
el total n.
Una tarjeta de circuito impreso se puede comprar de entre cinco proveedores. ¿En cuán-
tas formas se pueden escoger tres proveedores de entre los cinco?
Solución Como es sólo importante cuáles tres se han escogido, no el orden de selec-
ción, el número de formas es
C 53 � 
5! ____ 
3!2!
 � 
(5)(4)
 _____ 
2
 � 10
El siguiente ejemplo ilustra el uso de reglas de conteo para resolver un problema de 
probabilidad.
Cinco fabricantes producen cierto aparato electrónico, cuya calidad varía de un fabri-
cante a otro. Si fuéramos a seleccionar tres fabricantes al azar, ¿cuál es la probabilidad 
de que la selección contenga exactamente dos de los tres mejores?
Solución Los eventos simples de este experimento están formados por todas las 
posibles combinaciones de tres fabricantes, escogidos de un grupo de cinco. De estos 
cinco, tres han sido designados como “mejores” y dos como “no mejores”. Se puede 
pensar en un plato de dulces que contenga tres dulces rojos y dos amarillos, de los cuales 
se seleccionan tres, como se ilustra en la fi gura 4.7. El número total de eventos sim-
ples N se puede contar como el número de formas para escoger tres de los cinco fabri-
cantes, o sea
N � C 53 � 
5! ____ 
3!2!
 � 10
E J E M P L O 4.14
E J E M P L O 4.15
Escoger 3
3 “mejores”
2 “no mejores”
FIGURA 4.7
Ilustración para el 
ejemplo 4.15 
●
Probabilidad_Mendenhall_04.indd 141Probabilidad_Mendenhall_04.indd 141 5/14/10 8:48:46 AM5/14/10 8:48:46 AM
 www.FreeLibros.me