introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-57

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4.5 RELACIONES DE EVENTO Y REGLAS DE PROBABILIDAD ❍ 145
Se tiran al aire dos monedas imparciales y se registra el resultado. Éstos son los eventos 
de interés:
A: observar al menos una cara
B: observar al menos una cruz
Defi na los eventos A, B, A � B, A � B y Ac como conjuntos de eventos simples, y 
encuentre sus probabilidades.
Solución Recuerde del ejemplo 4.5 que los eventos simples para este experimento 
son
E1: HH (cara en primera moneda, cara en segunda)
E2: HT
E3: TH
E4: TT 
y que cada evento simple tiene probabilidad 1/4. El evento A, al menos una cara, se pre-
senta si ocurre E1, E2 o E3, de modo que
A � {E1, E2, E3} P(A) � 
3 __ 
4
 
y
Ac � {E4} P(A
c) � 1 __ 4
 
A
S
B
A∪B A∩B
A
S
B
A
S
Ac
FIGURA 4.10
El complemento de un 
evento
●
FIGURA 4.8
Diagrama de Venn de A � B
●
FIGURA 4.9
Diagrama de Venn A � B
●
E J E M P L O 4.16
Intersección ⇔ “ambos . . . y” 
o sólo “y”.
Unión ⇔ “uno de dos . . . o 
ambos” o sólo “o”.
CONSEJOMIMI
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146 ❍ CAPÍTULO 4 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Del mismo modo,
 B � {E2, E3, E4} P(B) � 
3 __ 
4
 
A � B � {E2, E3} P(A � B) � 
1 __ 
2
 
A � B � {E1, E2, E3, E4} P(A � B) � 
4 __ 
4
 � 1
Observe que (A � B) � S, el espacio muestral y entonces no es seguro que ocurra.
El concepto de uniones e intersecciones se puede ampliar a más de dos eventos. 
Por ejemplo, la unión de tres eventos A, B y C, que se escriben como A � B � C, es 
el conjunto de eventos simples que están en A o B o C o en cualquier combinación de 
esos eventos. Análogamente, la intersección de los tres eventos A, B y C, que se escribe 
como A � B � C, es el conjunto de eventos simples que son comunes a los tres eventos 
A, B y C.
Cálculo de probabilidades para uniones 
y complementos
Cuando podemos escribir el evento de interés en la forma de una unión, un complemento 
o una intersección, hay reglas de probabilidad especiales que pueden simplifi car nues-
tros cálculos. La primera regla se refi ere a uniones de eventos.
REGLA DE LA ADICIÓN
Dados dos eventos, A y B, la probabilidad de su unión, A � B, es igual a
P(A � B) � P(A) � P(B) � P(A � B)
Observe en el diagrama de Venn en la fi gura 4.11 que la suma P(A) � P(B) cuenta dos 
veces los eventos simples que son comunes a A y B. La resta de P(A � B) da el resultado 
correcto.
Cuando dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, signifi ca que cuando 
ocurre A, B no puede ocurrir, y viceversa. Esto signifi ca que la probabilidad de que ambos 
A
S
B
A∩B
FIGURA 4.11
Regla de la adición
●
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 4.5 RELACIONES DE EVENTO Y REGLAS DE PROBABILIDAD ❍ 147
ocurran, P(A � B), debe ser cero. La fi gura 4.12 es una representación de un diagrama de 
Venn de dos de estos eventos sin ningún evento simple en común.
Cuando dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A � B) � 0 
y la Regla de la adición se simplifi ca a
P(A � B) � P(A) � P(B)
La segunda regla se refi ere a complementos de eventos. Se puede ver del diagrama de 
Venn de la fi gura 4.10 que A y Ac son mutuamente excluyentes y que A � Ac � S, todo 
el espacio muestral. Se deduce que
P(A) � P(Ac) � 1 y P(Ac) � 1 � P(A)
REGLA PARA COMPLEMENTOS
P(Ac ) � 1 – P(A)
Un compañía de exploración petrolera planea perforar dos pozos de exploración. Se 
emplea evidencia del pasado para tener acceso a los posibles resultados de la tabla 4.4.
A
S
B
FIGURA 4.12
Dos eventos disjuntos
●
Recuerde, mutuamente 
excluyente ⇔ (A � B) � 0.
CONSEJOMIMI
Encuentre P(A � B) y P(B � C).
Solución Por su defi nición, los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes en 
forma conjunta porque el suceso de un evento impide que ocurra cualquiera de los otros 
dos. Por tanto,
P(A � B) � P(A) � P(B) � .80 � .18 � .98
y
P(B � C) � P(B) � P(C) � .18 � .02 � .20
TABLA 4.4 
●
 Resultados para el experimento de perforación petrolífera
Evento Descripción Probabilidad
 A Ningún pozo produce petróleo ni gas .80
 B Exactamente un pozo produce petróleo o gas .18
 C Ambos pozos producen petróleo o gas .02
E J E M P L O 4.17
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	4 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
	4.5 Relaciones de evento y reglas de probabilidad
	Cálculo de probabilidades para uniones y complementos