introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-78

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208 ❍ CAPÍTULO 5 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS ÚTILES
estudiantiles para enseñanza. Un grupo de ocho 
candidatos para tres posiciones locales de enseñanza 
estaba formado por cinco candidatos, que se habían 
inscrito en internados pagados y tres candidatos que se 
habían inscrito en programas tradicionales estudiantiles 
para enseñanza. Supongamos que los ocho candidatos 
están igualmente califi cados para las posiciones. 
Represente con x el número de candidatos capacitados 
en un internado que son contratados para estas tres 
posiciones.
a. ¿La x tiene una distribución binomial o una 
distribución hipergeométrica? Apoye su respuesta.
b. Encuentre la probabilidad de que tres candidatos 
capacitados en internado sean contratados para estas 
posiciones.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tres 
contratados sea capacitado en internado?
d. Encuentre P(x � 1).
5.56 Tratamiento a semillas Es frecuente que las 
semillas sean tratadas con un fungicida para protegerlas 
de ambientes mal drenados, húmedos. En un intento a 
pequeña escala antes de un experimento a gran escala 
para determinar qué dilución del fungicida aplicar, cinco 
semillas tratadas y cinco no tratadas se plantaron en 
suelo arcilloso y se registró el número de plantas que 
emergieron de las semillas tratadas y de las no tratadas. 
Suponga que la dilución no fue efi caz y sólo emergieron 
cuatro plantas. Represente con x el número de plantas que 
emergieron de semillas tratadas.
a. Encuentre la probabilidad de que x � 4.
b. Encuentre P(x � 3).
c. Encuentre P(2 � x � 3).
Conceptos y fórmulas clave
I. La variable aleatoria binomial
1. Cinco características: n intentos independientes 
idénticos, cada uno resultando ya sea en éxito (S) 
o en fracaso (F); la probabilidad de éxito es p y es 
constante de un intento a otro; y x es el número de 
éxitos en n intentos.
2. Cálculo de probabilidades binomiales
a. Fórmula: P(x � k) � Cnkp
kqn�k
b. Tablas binomiales acumulativas
c. Probabilidades individuales y acumulativas 
usando MINITAB
3. Media de la variable aleatoria binomial: m � np
4. Varianza y desviación estándar: s2 � npq y 
s � �
____
 npq 
II. La variable aleatoria de Poisson
1. El número de eventos que ocurren en un periodo 
o espacio, durante el cual se espera que ocurra un 
promedio de m eventos.
2. Cálculo de probabilidades de Poisson
a. Fórmula: P(x � k) � 
mke�m_____ 
k!
 
b. Tablas acumulativas de Poisson 
c. Probabilidades individuales y acumulativas 
usando MINITAB
3. Media de la variable aleatoria de Poisson: 
E(x) � m
4. Varianza y desviación estándar: s2 � m y 
s � �
__
 m 
5. Las probabilidades binomiales se pueden apro-
ximar con probabilidades de Poisson cuando 
np � 7, usando m � np.
III. La variable aleatoria hipergeométrica
1. El número de éxitos en una muestra de tamaño n 
de una población fi nita que contiene M éxitos y 
N � M fracasos.
2. Fórmula para la probabilidad de k éxitos en n 
intentos:
P(x � k) � 
C Mk C
N�M 
n�k _______ 
C N n
 
3. Media de la variable aleatoria hipergeométrica:
 m � n��MN��
4. Varianza y desviación estándar: 
 s 2 � n� M __ N �� 
N � M ______ 
N
 �� N � n ______ 
N � 1
 � y s � �
___
 s2 
REPASO DEL CAPÍTULO
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 MI MINITAB ❍ 209
MINITABMIMI
Probabilidades binomiales y de Poisson
Para una variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidad binomial o una 
de Poisson, MINITAB ha sido programado para calcular ya sea probabilidades exactas, 
P(x � k), para un valor determinado de k o las probabilidades acumulativas, P(x � k), 
para un valor determinado de k. El usuario debe especifi car cuál distribución está usando 
y los parámetros necesarios: n y p para la distribución binomial y m para la distribución 
de Poisson. También, tiene la opción de especifi car sólo un valor individual de k o va-
rios valores de k, que deben guardarse en una columna (C1, por ejemplo) de la hoja de 
trabajo MINITAB.
Considere una distribución binomial con n � 16 y p � .25. Ni n ni p aparecen en las 
tablas del apéndice I. Como los posibles valores de x para esta variable aleatoria bino-
mial varían de 0 a 16, podemos generar toda la distribución de probabilidad así como las 
probabilidades acumulativas al introducir los números 0 a 16 en la columna C1.
Una forma de introducir rápidamente un conjunto de enteros consecutivos en una 
columna es hacer lo siguiente:
• Dar nombre a las columnas C1 y C2 como “x” y “p(x)”, respectivamente.
• Introducir los primeros dos valores de x, 0 y 1, para crear un patrón en la colum-
na C1.
• Usar el mouse para seleccionar los primeros dos enteros.
• Usar el mouse para tomar la manija cuadrada de la esquina inferior izquierda del 
área seleccionada. Arrastre la manija hacia abajo para continuar con el patrón.
• El usuario verá que aparece un entero en un pequeño cuadro amarillo. Suelte el 
mouse cuando tenga el número deseado de enteros, en este caso 16 .
Una vez introducidos los valores necesarios de x, use Calc � Probability Distri-
butions � Binomial para generar el cuadro de diálogo que se muestra en la fi gura 5.7. 
Teclee el número de intentos y el valor de p (Event probability) (probabilidad de evento) 
FIGURA 5.7
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210 ❍ CAPÍTULO 5 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS ÚTILES
en las cajas apropiadas, y seleccione “x” para la columna de entrada. (Si no teclea un 
número de columna para guardar, MINITAB mostrará los resultados en la ventana Ses-
sion. Si el usuario teclea C2 o p(x) en la caja marcada “Optional storage”, los resultados 
aparecerán en la columna C2 en lugar de en la ventana Session.) Verifi que seleccionar el 
botón de radio marcado “Probability”. La función de densidad de probabilidad aparece 
en la ventana Session cuando dé un clic en OK (una parte se muestra en la fi gura 5.8). 
¿Cuál es la probabilidad de que x sea igual a 4? ¿De que sea 3 o 4?
Para calcular probabilidades acumulativas, verifi que que esté seleccionado el punto 
marcado “Cumulative probability” y teclee los valores apropiados de x en C1. Si usted 
tiene sólo un valor de x, es más sencillo seleccionar la caja Input constant y teclear el 
valor apropiado. Por ejemplo, para una variable aleatoria de Poisson con m � 5, use 
Calc � Probability distributions � Poisson y teclee una media de 5. Introduzca el 
número 6 en la caja Input constant, dé un clic en OK y la probabilidad de que x sea me-
nor o igual a 6 aparecerá en la ventana Session (véase la fi gura 5.9).
¿Qué valor k es tal que sólo 5% de los valores de x exceden este valor (y 95% son 
menores o iguales a k)? Si usted teclea la probabilidad .95 en la caja Input constant, se-
leccione la opción marcada “Inverse cumulative probability” y dé un clic en OK (véase 
la fi gura 5.10), entonces los valores de x a cualquier lado de la “.95 mark” aparecen 
en la ventana Session como en la fi gura 5.11. Por tanto, si el usuario observó un valor 
de x � 10, esto sería una observación poco común porque P(x 	 9) � 2 � .968172 � 
.031828.
FIGURA 5.8
●
FIGURA 5.9 
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	5 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS ÚTILES
	Repaso del capítulo