introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-97

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7.4 EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL ❍ 265
Si muestras aleatorias de n observaciones se sacan de una población no normal con 
media fi nita m y desviación estándar s, entonces, cuando n es grande, la distribución de 
muestreo de la media muestral x� está distribuida normalmente en forma aproximada, 
con media m y desviación estándar
 s___ 
 �
__
 n 
 La aproximación se hace más precisa cuando n se hace grande.
Cualquiera que sea su forma, la distribución muestral de x� siempre tiene una media 
idéntica a la media de la población muestreada y una desviación estándar igual a la 
desviación poblacional estándar s dividida entre �
__
 n . En consecuencia, la dispersión 
de la distribución de medias muestrales es considerablemente menor que la disper-
sión de la población muestreada.
El teorema del límite central se puede expresar de otro modo para aplicar a la suma 
de las mediciones muestrales Sxi, que, cuando n se hace grande, también tiene una 
distribución aproximadamente normal con media nm y desviación estándar s �
__
 n .
FIGURA 7.7
Applet Central Limit 
Theorem (Teorema del 
límite central)
●
Teorema del 
límite central
APPLETMIMI
El applet Java llamado The Central Limit Theorem (El teorema del límite cen-
tral) se puede usar para efectuar una simulación para las distribuciones muestra-
les del promedio de uno, dos, tres o cuatro dados. La fi gura 7.7 muestra el applet 
después de que el par de dados (n � 2) ha sido tirado 2500 veces. Esto no es tan 
difícil como parece, puesto que sólo hay que presionar el botón 25 veces. 
La simulación muestra los posibles valores para x� � Sxi/10 y también mues-
tra la media y desviación estándar para estas 2500 mediciones. La media, 3.5, 
es exactamente igual a m � 3.5. ¿Cuál es la desviación estándar para estas 2500 
mediciones? ¿Es cercana al valor teórico, s/ �
__
 n � 1.71 ____ 
 �
__
 2 
 �1.21? Usaremos este
applet otra vez para los ejercicios Mi Applet al fi nal del capítulo.
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266 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
La aportación importante del teorema del límite central está en la inferencia esta-
dística. Muchos estimadores que se usan para hacer inferencias acerca de parámetros 
poblacionales son sumas o promedios de las mediciones muestrales. Cuando el tamaño 
muestral es grande lo sufi ciente, se puede esperar que estos estimadores tengan dis-
tribuciones muestral que sean aproximadamente normales. Entonces se puede usar la 
distribución normal para describir el comportamiento de estos estimadores en muestreo 
repetido y evaluar la probabilidad de observar ciertos resultados muestrales. Al igual 
que en el capítulo 6, estas probabilidades se calculan usando la variable aleatoria nor-
mal estándar
z � Estimador � Media _________________ Desviación estándar
 
Cuando vuelva usted a leer el teorema del límite central, podrá ver que la aproxi-
mación es válida mientras el tamaño muestral n sea “grande”, pero ¿qué tan grande es 
“grande”? Desafortunadamente, no hay una respuesta clara a esta pregunta. El valor 
apropiado de n depende de la forma de la población de la cual se muestrea, y cómo se 
desea usar la aproximación. No obstante, ayudan estas guías:
¿CÓMO DETERMINO CUÁNDO EL TAMAÑO 
MUESTRAL ES LO SUFICIENTE GRANDE?
• Si la población muestreada es normal, entonces la distribución muestral de x� 
también será normal, sin importar cuál sea el tamaño de la muestra que se escoja. 
Este resultado se puede demostrar en forma teórica, pero no debe ser demasiado 
difícil aceptarla sin prueba.
• Cuando la población muestreada es aproximadamente simétrica, la distribución 
muestral de x� se hace también aproximadamente normal para valores relativa-
mente pequeños de n. Recuerde la rapidez con la que la distribución “plana” del 
ejemplo de los dados tomó la forma de montículo (n � 3).
• Cuando la población muestreada está sesgada, el tamaño muestral n debe ser más 
grande, con n al menos 30 antes que la distribución muestral de x� se haga aproxi-
madamente normal.
Estas guías sugieren que, para muchas poblaciones, la distribución muestral de x� será 
aproximadamente normal para tamaños muestrales moderados: una excepción a esta 
regla se presenta al muestrear una población binomial cuando p o q � (1 � p) es muy 
pequeña. Cuando aparezcan aplicaciones específi cas del teorema del límite central, 
daremos el tamaño muestral apropiado n.
LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL 
DE LA MEDIA MUESTRAL
Si la media poblacional m es desconocida, se pueden seleccionar varias estadísticas 
como estimador; la media muestral x� y la mediana muestral m son dos que con facilidad 
llegan a nuestra mente. ¿Cuál debe usarse? Considere estos criterios al seleccionar el 
estimador para m:
La distribución muestral de x� 
siempre tiene una media m y 
desviación estándar 
s/ �
__
 n . El teorema del límite 
central ayuda a describir su 
forma.
CONSEJOMIMI
7.5
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 7.5 LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA MUESTRAL ❍ 267
• ¿Es fácil o difícil de calcular?
• ¿Produce estimaciones que sean demasiado altas o demasiado bajas de manera 
consistente?
• ¿Es más o menos variable que otros estimadores posibles?
Las distribuciones muestrales para x� y m con n � 3 para la pequeña población del ejem-
plo 7.3 mostraron que, en términos de estos criterios, la media muestral funcionó mejor 
que la mediana muestral como estimador de m. En muchas situaciones, la media mues-
tral x� tiene propiedades deseables como un estimador que no son compartidas por otros 
estimadores competidores; por tanto, se emplea en forma más general.
LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA 
MUESTRAL, –X
• Si una muestra aleatoria de n mediciones se selecciona de una población con 
media m y desviación estándar s, la distribución muestral de la media muestral x� 
tendrá media m y desviación estándar†
 s___ 
 �
__
 n 
 
• Si la población tiene una distribución normal, la distribución muestral de x� estará 
exactamente distribuida en forma normal, cualquiera que sea el tamaño muestral 
n.
• Si la distribución poblacional es no normal, la distribución muestral de x� estará 
distribuida normalmente en forma aproximada para muestras grandes 
(por el teorema del límite central).
Error estándar
Defi nición La desviación estándar de una estadística empleada como estimador de 
un parámetro poblacional también se denomina error estándar del estimador (abre-
viado SE) porque se refi ere a la precisión denomina. Por tanto, la desviación estándar 
de x�, dada por s/ �
__
 n , se conoce como error estándar de la media (abreviada SE(x�) o 
sólo SE).
†
 Cuando muestras repetidas de tamaño n se seleccionan al azar de entre una población fi nita con N elementos 
cuya media sea m y cuya varianza sea s2, la desviación estándar de x� es
 s___ 
 �
__
 n 
 �
______
 N � n ______ 
N � 1
 
donde s2 es la varianza poblacional. Cuando N es grande con respecto al tamaño muestral n, �
_____________
 (N � n)(N � 1) es 
aproximadamente igual a 1, y la desviación estándar de x� es
 s___ 
 �
__
 n 
 
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	7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
	7.5 La distribución muestral de la media muestral
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