introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-100

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274 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
manera idéntica cada vez. Estas diferencias se deben a un 
fenómeno llamado “error de medición”.
a. Haga una lista de algunas variables en un experimento 
de química que podrían causar algunos pequeños 
cambios en la medición de la respuesta fi nal.
b. Si se desea verifi car que el error de medición es 
pequeño, se puede repetir el experimento y tomar 
el promedio muestral de todas las mediciones. Para 
reducir la cantidad de variabilidad en el promedio de 
mediciones, ¿debe usarse un número de repeticiones 
grande o pequeño? Explique.
7.28 Tomates Explique por qué el peso de un 
empaque de una docena de tomates debe estar distribuido 
normalmente en forma aproximada si la docena de 
tomates representa una muestra aleatoria.
7.29 Bacterias en el agua Use el teorema del límite 
central para explicar por qué una variable aleatoria de 
Poisson, por ejemplo, el número de un tipo particular de 
bacterias en un pie cúbico de agua, tiene una distribución 
que puede ser aproximada por una distribución normal 
cuando la media m es grande. (SUGERENCIA: Un pie cúbico 
de agua contiene 1728 pulgadas cúbicas de este líquido.)
7.30 Resistencia del papel Un fabricante de papel 
que se usa para empaque exige una resistencia mínima de 
20 libras por pulgada cuadrada. Para verifi car la calidad 
del papel, cada hora se selecciona una muestra aleato-
ria de 10 piezas de papel de entre la producción de la hora 
previa, registrándose la medición de su resistencia para 
cada una. La desviación estándar s de las mediciones de 
resistencia, calculada al agrupar la suma de cuadrados 
de desviaciones de muchas muestras, se sabe que es igual 
a 2 libras por pulgada cuadrada y las mediciones 
de resistencia están normalmente distribuidas.
a. ¿Cuál es la distribución muestral aproximada de la 
media muestral de n � 10 piezas de papel de prueba?
b. Si la media de la población de mediciones de 
resistencia es 21 libras por pulgada cuadrada, ¿cuál es 
la probabilidad aproximada de que, para una muestra 
aleatoria de n � 10 piezas de papel, x� � 20?
c. ¿Qué valor se seleccionaría para la resistencia media 
del papel, m, para que P(x� � 20) sea igual a .001?
7.31 Niveles de potasio El requerimiento normal 
diario de potasio en seres humanos está en el intervalo de 
2 000 a 6 000 miligramos (mg), con cantidades grandes 
necesarias durante los meses calurosos de verano. La 
cantidad de potasio en alimentos varía, dependiendo de 
éstos. Por ejemplo, hay alrededor de 7 mg en un refresco 
de cola, 46 mg en una cerveza, 630 mg en un plátano 
(banano), 300 mg en una zanahoria y 440 mg en un 
vaso de jugo de naranja. Suponga que la distribución de 
potasio en un plátano está distribuida normalmente, con 
media igual a 630 mg y desviación estándar de 40 mg 
por plátano. Usted toma n � 3 plátanos al día y T es el 
número total de miligramos de potasio que recibe de ellos.
a. Encuentre la media y desviación estándar de T.
b. Encuentre la probabilidad de que su ingesta 
diaria de potasio de los tres plátanos exceda de 
2 000 mg. (SUGERENCIA: Observe que T es la suma 
de tres variables aleatorias, x1, x2 y x3, donde x1 es la 
cantidad de potasio en el plátano 1, etcétera.)
7.32 Venta de deli El total de ventas diarias x, 
en la sección de bocadillos (llamados delicatessen 
o deli), es la suma de las ventas generadas por un 
número fi jo de clientes que hacen compras en un día 
determinado.
a. ¿Qué clase de distribución de probabilidad se espera 
que tenga el total de ventas diarias? Explique.
b. Para este mercado particular, el promedio de venta 
por cliente en la sección delicatessen es $8.50 con 
s � $2.50. Si 30 clientes hacen compras de deli en 
un día determinado, dé la media y desviación estándar 
de la distribución de probabilidad del total de ventas 
diarias, x.
7.33 Temperaturas normales En el ejercicio 
1.67, Allen Shoemaker dedujo una distribución de 
temperaturas del cuerpo humano con una forma distintiva 
de montículo.8 Suponga que consideramos que las 
temperaturas de personas sanas es aproximadamente 
normal, con una media de 98.6 grados y desviación 
estándar de 0.8 grados.
a. Si al azar se seleccionan 130 personas sanas, ¿cuál es 
la probabilidad de que la temperatura promedio para 
ellas sea de 98.25 grados o menor?
b. ¿Consideraría usted que una temperatura promedio de 
98.25 grados es un suceso poco común, dado que la 
verdadera temperatura promedio de personas sanas es 
de 98.6 grados? Explique.
7.34 Deportes y lesiones del tendón de 
Aquiles Algunos deportes en los que se practica 
una cantidad considerable de carreras, saltos de altura 
o de longitud, pone a los participantes en riesgo de 
tendinopatía de Aquiles (AT), que es una infl amación 
y engrosamiento del tendón de Aquiles. Un estudio de 
The American Journal of Sports Medicine observó 
el diámetro (en mm) de tendones afectados y no 
afectados de pacientes que participaron en estos 
tipos de actividades deportivas.9 Suponga que los 
diámetros del tendón de Aquiles en la población general 
tienen una media de 5.97 milímetros (mm) con una 
desviación estándar de 1.95 mm.
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 7.6 LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL ❍ 275
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra 
seleccionada al azar de 31 pacientes produzca un 
diámetro promedio de 6.5 mm o menos para el tendón 
no afectado?
b. Cuando los diámetros del tendón afectado se midieron 
para una muestra de 31 pacientes, el diámetro 
promedio fue 9.80. Si el promedio del diámetro del 
tendón en la población de pacientes con AT no es 
diferente del promedio del diámetro de tendones no 
afectados (5.97 mm), ¿cuál es la probabilidad de 
observar un promedio de diámetro de 9.80 o mayor?
c. ¿Qué conclusiones podrían sacarse de los resultados 
del inciso b)?
LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL 
DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL
Hay numerosos ejemplos prácticos de la variable aleatoria x binomial. Una aplicación 
común se relaciona con la preferencia del consumidor o encuestas de opinión, donde 
usamos una muestra aleatoria de n personas, para estimar la proporción p de personas en 
la población que tienen una característica especifi cada. Si x de las personas muestreadas 
tienen esta característica, entonces la proporción muestral
p̂ � �
n
x
�
se puede usar para estimar la proporción poblacional p (fi gura 7.12).†
La variable aleatoria x binomial tiene una distribución de probabilidad p(x), des-
crita en el capítulo 5, con media np y desviación estándar �
____
 npq . Como p̂ es simple-
mente el valor de x, expresado como proporción �p̂ � �n
x
��, la distribución muestral de p̂ 
es idéntica a la distribución de probabilidad de x, excepto que tiene una nueva escala a 
lo largo del eje horizontal.
7.6
P: ¿Cómo saber si es o no 
es binomial? R: Vea si la 
medición tomada en una 
sola unidad experimental 
de la muestra es del tipo 
“éxito/fracaso”. Si es así, 
probablemente es binomial.
CONSEJOMIMI
0.3
0.2
0.1
0.0 0 1 2 3 4 5
x
0 1/5 2/5 3/5 4/5 1
p̂
FIGURA 7.12
Distribución muestral de 
la variable aleatoria x 
binomial y la proporción 
muestral p̂
●
Debido a este cambio de escala, la media y desviación estándar de p̂ también tienen 
cambio de escala, de modo que la media de la distribución muestral de p̂ es p, y su error 
estándar es
SE( p̂) � �
___
 
pq
 ___ n donde q � 1 � p
Por último, así como podemos aproximar la distribución de probabilidad de x con una 
distribución normal cuando el tamaño muestral n es grande, podemos hacer lo mismo 
con la distribución muestral de p̂.
†
 Un “sombrero” puesto sobre el símbolo de un parámetro poblacional denota una estadística utilizada para estimar 
el parámetro poblacional. Por ejemplo, el símbolo p̂ denota la proporción muestral.
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276 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL 
DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL, p̂
• Si una muestra aleatoria de n observaciones se selecciona de una población bino-
mial con parámetro p, entonces la distribución muestral de la proporción mues-
tral
 p̂ � �
n
x
�
 tendrá una media
 p
 y una desviación estándar
 SE( p̂) � �
___
 
pq
 ___ n donde q � 1 � p
• Cuando el tamaño muestral n es grande, la distribución muestral de p̂ puede ser 
aproximada por una distribución normal. La aproximación será adecuada si np � 
5 y nq � 5.
En una encuesta, a 500 madres y padres se les preguntó sobre la importancia del deporte 
para hijos e hijas. De los padres entrevistados, 60% estuvieron de acuerdo que los géne-
ros son iguales y deben tener iguales oportunidades de participar en deportes. Describa 
la distribución muestral de la proporción muestral p̂ de padres que están de acuerdo en 
que los géneros son iguales y deben tener iguales oportunidades.
Solución Se puede suponer que los 500 padres representan una muestra aleatoria de 
los padres de todos los hijos e hijas en Estados Unidos y que la verdadera proporción 
de la población es igual a algún valor desconocido que se puede llamar p. La distribu-
ción muestral de p̂ puede ser aproximada por una distribución muestral,† con media igual 
a p (véase la fi gura 7.13) y error estándar
SE( p̂) � �
___
 
pq
 ___ n 
E J E M P L O 7.6
† Si se verifi can las condiciones que permiten la aproximación normal a la distribución de p̂, se puede ver que 
n � 500 es adecuado para valores de p cercanos a .60 porque p̂ y q̂ son mayores que 5.
ˆ
p p̂
2SE .044
f(p)
FIGURA 7.13
Distribución muestral para 
p̂ basada en una muestra 
de n � 500 padres para el 
ejemplo 7.6
●
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	7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
	7.6 La distribución muestral de la proporción muestral