introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-109

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FIGURA 8.2
Distribuciones para 
estimadores sesgados 
e insesgados
●
Estimador 
sesgado
Verdadero valor 
de parámetro
Estimador 
insesgado
FIGURA 8.3
Comparación de 
variabilidad de un 
estimador
●
Estimador con 
varianza más 
pequeña
Verdadero valor 
del parámetro
Estimador 
con varianza 
más grande
† En general, los estadísticos usan el término varianza de un estimador cuando en realidad es la varianza de la 
distribución muestral del estimador. Esta expresión contraída se usa casi universalmente.
Las distribuciones muestrales dan información que se puede usar para seleccionar 
el mejor estimador. ¿Qué características serían valiosas? Primero, la distribución 
muestral del estimador puntual debe estar centrada sobre el verdadero valor del 
parámetro a ser estimado. Esto es, el estimador no debe subestimar o sobreestimar 
de manera consistente al parámetro de interés. Un estimador como éste se dice que es 
insesgado.
Defi nición Se dice que un estimador de un parámetro es insesgado si la media de 
su distribución es igual al verdadero valor del parámetro. De otro modo, se dice que el 
estimado está sesgado.
Las distribuciones muestrales para un estimador insesgado y estimador sesgado se ven 
en la figura 8.2. La distribución muestral para el estimador sesgado está corrida a la 
derecha del verdadero valor del parámetro. Este estimador sesgado es más probable que 
uno insesgado para sobreestimar el valor del parámetro.
La segunda característica deseable de un estimador es que la dispersión (medida 
por la varianza) de la distribución muestral debe ser tan pequeña como sea posi-
ble. Esto asegura que, con una alta probabilidad, una estimación individual caerá cerca 
del valor verdadero del parámetro. Las distribuciones muestrales para dos estimadores 
insesgados, una con una varianza pequeña† y la otra con una varianza más grande, como 
se ve en la figura 8.3.
 8.4 ESTIMACIÓN PUNTUAL ❍ 301
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302 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
FIGURA 8.4
Distribución muestral de 
un estimador insesgado
●
Margen 
de error
Margen 
de error
Estimador 
muestral
Verdadero valor
95%
1.96SE
Una estimación particular
1.96SE
95% de margen de error � 
1.96 � error estándar.
CONSEJOMIMI
Por supuesto que sería preferible el estimador con la varianza más pequeña, porque las 
estimaciones tienden a estar más cerca del verdadero valor del parámetro que en la dis-
tribución con la varianza más grande.
En situaciones muestrales prácticas, es posible saber que la distribución muestral de 
un estimador está centrada alrededor del parámetro que se trate de estimar, pero todo 
lo que se tiene es la estimación calculada de las n mediciones contenidas en la muestra. 
¿A qué distancia del verdadero valor del parámetro estará esta estimación? ¿Qué tan 
cercana está la diana o blanco de la bala del tirador? La distancia entre la estimación y el 
verdadero valor del parámetro se denomina error de estimación.
Defi nición La distancia entre una estimación y el parámetro estimado recibe el 
nombre de error de estimación.
En este capítulo, usted puede suponer que los tamaños muestrales son siempre gran-
des y, por tanto, que los estimadores insesgados que estudiará tienen distribuciones 
muestrales que pueden ser aproximadas por una distribución normal (por el teorema 
del límite central). Recuerde que, para cualquier estimador puntual con una distribución 
normal, la regla empírica dice que aproximadamente 95% de todas las estimaciones 
puntuales estarán a no más de dos (o más exactamente, 1.96) desviaciones estándar de 
la media de esa distribución. Para estimadores insesgados, esto implica que la diferencia 
entre el estimador puntual y el verdadero valor del parámetro será menor a 1.96 desvia-
ciones estándar o 1.96 errores estándar (SE). Esta cantidad, llamada el 95% de margen 
de error (o simplemente “margen de error”), da un límite superior práctico para el 
error de estimación (véase la figura 8.4). Es posible que el error de estimación exceda 
este margen de error, pero eso es muy poco probable.
ESTIMACIÓN PUNTUAL DEL PARÁMETRO 
DE UNA POBLACIÓN
• Estimador puntual: estadística calculada usando mediciones muestrales
• 95% de margen de error: 1.96 � error estándar del estimador
Las distribuciones muestrales para dos estimadores puntuales insesgados se estudia-
ron en el capítulo 7. Se puede demostrar que estos dos estimadores puntuales tienen la 
mínima variabilidad de todos los estimadores insesgados y, por lo tanto, son los mejores 
estimadores que se pueden hallar en cada situación.
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E J E M P L O 8.4
† Cuando se muestrea a partir de una distribución normal, ( 
_
 x � m)/(s/ �
__
 n ) tiene una distribución t, que se estudia-
rá en el capítulo 10. Cuando la muestra es grande, este estadístico se encuentra distribuido normalmente en forma 
aproximada si la población muestreada es normal o no normal. 
¿Cómo estimo una media o proporción poblacional?
• Para estimar la media poblacional m para una población cuantitativa, el esti-
mador puntual 
_
 x es insesgado con el error estándar estimado como
SE � s ___ 
 �
__
 n 
 †
El 95% de margen de error cuando n � 30 se estima como
�1.96� s ___ �__ n �
• Para estimar la proporción poblacional p para una población binomial, el esti-
mador puntual p̂ � x/n es insesgado, con un error estándar estimado como
SE � �
___
 
p̂q̂
 ___ 
n
 
El 95% de margen de error se estima como
�1.96 �
___
 
p̂q̂
 ___ 
n
 
Suposiciones: np̂ � 5 y nq̂ � 5.
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La variabilidad del estimador se mide usando este error estándar. No obstante, usted 
podrá haber observado que el error estándar suele depender de parámetros desconoci-
dos, por ejemplo s o p. Estos parámetros deben estimarse usando estadísticas muestrales 
como son s y p̂. Aun cuando no exactamente correcto, por lo general los experimentado-
res se refieren al error estándar estimado como el error estándar.
Un ambientalista está realizando un estudio del oso polar, especie que se encuentra en el 
océano Ártico y sus alrededores. Su zona de distribución está limitada por la existencia 
de hielo en el mar, que usan como plataforma para cazar focas, principal sostén de los 
osos. La destrucción de su hábitat en el hielo del Ártico, que se ha atribuido al calenta-
miento global, amenaza la supervivencia de los osos como especie; puede extinguirse 
antes de un siglo.1 Una muestra aleatoria de n � 50 osos polares produjo un peso prome-
dio de 980 libras con una desviación estándar de 105 libras. Use esta información para 
estimar el peso promedio de todos los osos polares del Ártico.
Solución La variable aleatoria medida es el peso, una variable aleatoria cuantitativa 
mejor descrita por su media m. La estimación puntual de m, el peso promedio de todos 
los osos polares del Ártico, es 
_
 x � 980 libras. El margen de error se estima como
1.96 SE � 1.96� s ____ �__ n � � 1.96� 
105 _____ 
 �
___
 50 
 � � 29.10 � 29 libras
 8.4 ESTIMACIÓN PUNTUAL ❍ 303
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