introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-112

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310 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
Intervalo de confi anza de muestra grande 
para una media poblacional m
Es muy frecuente que problemas prácticos lleven a m, la media de una población de 
mediciones cuantitativas. He aquí algunos ejemplos:
• El promedio de califi caciones de estudiantes universitarios en una universidad 
particular
• El promedio de resistencia de un nuevo tipo de acero
• El número promedio de fallecimientos por categoría de edad
• El promedio de demanda para un nuevo producto de cosmético
Cuando el tamaño muestral n sea grande, la media muestral 
_
 x es el mejor estimador pun-
tual para la media poblacional m. Como su distribución muestral es aproximadamente 
normal, puede usarse para construir un intervalo de confianza de acuerdo con el método 
general dado ya antes.
UN INTERVALO DE CONFIANZA DE MUESTRA 
GRANDE (1 � a)100% PARA UNA MEDIA 
POBLACIONAL m
 
_
 x � za/2 
s___ 
 �
__
 n 
 
donde za/2 es el valor z correspondiente a un área a/2 en la cola superior de una 
distribución z normal estándar y
n � tamaño muestral
s � desviación estándar de la población muestreada
Si s es desconocida, puede ser aproximada por la desviación estándar muestral 
s cuando el tamaño muestral sea grande (n � 30) y el intervalo aproximado de 
confianza es
 
_
 x � za/2 
s ___ 
 �
__
 n 
 
Otra forma de hallar el intervalo de confianza de muestra grande para una media 
poblacional m es empezar con la estadística
z � 
 
_
 x � m______ 
s/ �
__
 n 
 
que tiene una distribución normal estándar. Si escribimos za/2 como el valor de z con área 
a/2 a su derecha, entonces se puede escribir
P��za/2 � 
_
 x � m______ 
s/ �
__
 n 
 � za/2� � 1 � a
Esta desigualdad se puede reescribir como
 �za/2 s___ 
 �
__
 n 
 � 
_
 x � m � za/2 s___ 
 �
__
 n 
 
� 
_
 x �za/2 s___ 
 �
__
 n 
 � � m � � 
_
 x � za/2 s___ 
 �
__
 n 
 
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FIGURA 8.9
Veinte intervalos de 
confi anza para la media 
del ejemplo 8.6
●
4 
8
12
16
20
N
úm
er
o 
de
 in
te
rv
al
o
μ
Un intervalo de confi anza 
de 95% nos dice que, si 
fuéramos a construir muchos 
de estos intervalos (todos 
los cuales tendrían puntos 
extremos ligeramente 
diferentes), 95% de 
ellos encierran la media 
poblacional.
CONSEJOMIMI
E J E M P L O 8.6
de modo que
P� _ x � za/2 s___ �__ n � m � 
_
 x � za/2 s___ 
 �
__
 n 
 � � 1 � a
Los términos 
_
 x � za/2(s/ �
__
 n ) y 
_
 x � za/2(s/ �
__
 n ), que son los límites inferior y superior de 
confianza, son en realidad cantidades aleatorias que dependen de la media muestral 
_
 x . 
Por tanto, en muestreo repetido, el intervalo aleatorio 
_
 x � za/2(s/ �
__
 n ), contendrá la me-
dia poblacional m con probabilidad (1 � a).
Un científi co interesado en vigilar contaminantes químicos en alimentos y, por lo tanto, 
la acumulación de contaminantes en la dieta humana, seleccionó una muestra aleatoria 
de n � 50 adultos hombres. Se encontró que el promedio de ingesta diaria de produc-
tos lácteos fue de 
_
 x � 756 gramos por día, con una desviación estándar de s � 35 gramos 
por día. Use esta información muestral para construir un intervalo de confi anza de 95% 
para la ingesta diaria media de productos lácteos para hombres.
Solución Como el tamaño muestral de n � 50 es grande, la distribución de la media 
muestral 
_
 x está distribuida normalmente en forma aproximada, con media m y error 
estándar estimado por s �
__
 n . El intervalo de confianza aproximado de 95% es
 
_
 x � 1.96� s ___ �__ n �
756 � 1.96� 35 ____ �___ 50 �
756 � 9.70
Por tanto, el intervalo de confi anza de 95% para m es de 746.30 a 765.70 gramos por 
día.
Interpretación del intervalo de confi anza
¿Qué significa decir que estamos “95% ciertos” que el valor real de la media poblacional 
m está dentro de un intervalo determinado? Si fuéramos a construir 20 de esos intervalos, 
cada uno usando diferente información muestral, nuestros intervalos podrían verse como 
los de la figura 8.9. De los 20 intervalos, podría esperarse que 95% de ellos, o sea 19 
de cada 20, funcionaran como se planea y contienen m dentro de sus límites superior e 
inferior.
 8.5 ESTIMACIÓN DE INTERVALO ❍ 311
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312 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
APPLETMIMI
Usted puede tratar este experimento por sí mismo usando el applet Java llamado 
Interpreting Confidence Intervals (Interpretación de los intervalos de con-
fianza). El applet que se muestra en la figura 8.10a) muestra el cálculo de un intervalo 
de confianza de 95% para m cuando n � 50 y s � 35. Para este intervalo particu-
lar de confianza, usamos el botón One Sample (Una Muestra). Se puede ver el valor 
de m como una línea vertical verde en su pantalla (gris en la figura 8.10). Observe que 
este intervalo de confianza funcionó correctamente y encerró la línea vertical entre 
sus límites superior e inferior. La figura 8.10b) muestra el cálculo de 100 de esos 
intervalos, usando el botón 100 Samples. Los intervalos que no funcionan correcta-
mente se ven en rojo en su pantalla (negro en la figura 8.10). ¿Cuántos intervalos no 
funcionan? ¿Es cerca del 95% de confianza que decimos tener? El usuario empleará 
este applet de nuevo para la sección de ejercicios Mi Applet al final del capítulo.
FIGURA 8.10
Applet Interpreting 
Confi dence Intervals 
(Interpretación de los 
intervalos de confi anza)
●
 a) b)
E J E M P L O 8.7
Recuerde que no se puede estar absolutamente seguro de que algún intervalo particular 
contenga la media m. Nunca se sabrá si ese intervalo particular es uno de los 19 que 
“funcionaron”, o si es el intervalo que “faltaba”. La confianza en el intervalo estimado 
proviene del hecho de que cuando se calculan intervalos repetidos, 95% de esos inter-
valos contendrán m.
Un buen intervalo de confianza tiene dos características deseables:
• Es tan angosto como es posible. Cuanto más angosto sea el intervalo, más exacta-
mente se habrá localizado el parámetro estimado.
• Tiene un coefi ciente de confi anza grande, cercano a 1. Cuanto mayor sea el 
coefi ciente de confi anza, es más probable que el intervalo contenga el parámetro 
estimado.
Construya un intervalo de confianza de 99% para la ingesta diaria media de productos 
lácteos para los hombres adultos del ejemplo 8.6.
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	8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
	8.5 Estimación de intervalo
	Intervalo de confianza de muestra grande para una media poblacional μ
	Interpretación del intervalo de confianza