introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-113

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FIGURA 8.11
Valores estándar normales 
para un intervalo de 
confi anza de 99%
●
f(z)
0 z2.58–2.58
= .005
.99
.005 α /2
Área de cola
derecha Valor z
 .05 1.645
 .025 1.96
 .01 2.33
 .005 2.58
CONSEJOMIMI
Solución Para cambiar el nivel de confianza a .99 se debe hallar el valor apropiado 
de la z normal estándar que pone el área (1 � a) � .99 en el centro de la curva. Este valor, 
con área de cola a/2 � .005 a su derecha, se encuentra de la tabla 8.2 como z � 2.58 
(véase la figura 8.11). El intervalo de confianza de 99% es entonces
 
_
 x � 2.58� s ___ �__ n �
756 � 2.58(4.95)
756 � 12.77
o sea, 743.23 a 768.77 gramos por día. Este intervalo de confianza es más ancho que el 
intervalo de confianza de 95% del ejemplo 8.6.
El ancho aumentado es necesario para aumentar la confi anza, igual que como se desearía 
un anillo más ancho en su lazo para asegurarse de lazar el poste de una cerca. La única 
forma de aumentar la confi anza sin aumentar el ancho del intervalo es aumentar el 
tamaño muestral, n.
El error estándar de 
_
 x ,
SE � s___ 
 �
__
 n 
 
mide la variabilidad o dispersión de los valores de 
_
 x . Cuanto más variables sean los datos 
poblacionales, medidos por s, más variable será 
_
 x y el error estándar será más grande. 
Por otra parte, si se aumenta el tamaño muestral n, habrá más información para estimar 
m. Las estimaciones deben caer más cerca de m y el error estándar será más pequeño. 
Se puede usar el applet Exploring Confidence Intervals (Exploración de intervalos 
de confianza), que se muestra en la figura 8.12, para ver el efecto de cambiar el tamaño 
muestral n, la desviación estándar s y el coeficiente de confianza 1 � a en el ancho del 
intervalo de confianza.
Los intervalos de confianza de los ejemplos 8.6 y 8.7 son aproximados porque se sus-
tituyó s como una aproximación para s. Esto es, en lugar de que el coeficiente de con-
fianza sea .95, el valor especificado en el ejemplo, el verdadero valor del coeficiente puede 
ser .92, .94 o .97. Pero esta discrepancia es de poco interés desde un punto de vista 
práctico; en lo que se refiere a la “confianza” del usuario, hay poca diferencia entre 
estos coeficientes de confianza. Casi todos los estimadores que se emplean en estadística 
dan intervalos aproximados de confianza, porque las suposiciones sobre las que están 
basadas no se satisfacen exactamente. Habiendo visto este punto, no continuaremos refi-
riéndonos a intervalos de confianza como “aproximados”. Es de poco interés práctico 
mientras el coeficiente real de confianza sea cercano al valor especificado.
 8.5 ESTIMACIÓN DE INTERVALO ❍ 313
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314 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
FIGURA 8.12
Applet Exploring 
Confi dence Intervals
●
Intervalo de confi anza de muestra grande 
para una proporción poblacional p
Muchos experimentos de investigación o estudios muestrales tienen como objetivo la 
estimación de la proporción de personas u objetos de un grupo grande, que posean cierta 
característica. Veamos algunos ejemplos:
• La proporción de ventas que se puede esperar en un gran número de contactos de 
clientes
• La proporción de semillas que germinan
• La proporción de votantes “probables” que planean votar para un candidato polí-
tico particular
Cada uno es un ejemplo práctico del experimento binomial y el parámetro a estimarse 
es la proporción binomial p.
Cuando el tamaño muestral es grande, la proporción muestral,
p̂ � x __ n � 
Número total de éxitos _____________________ 
Número total de intentos
 
es el mejor estimador puntual para la proporción poblacional p. Como su distribución 
muestral es aproximadamente normal, con media p y error estándar SE � �
____
 pq/n , 
p̂ puede usarse para construir un intervalo de confianza de acuerdo al método general 
dado en esta sección.
UN INTERVALO DE CONFIANZA DE MUESTRA 
GRANDE (1 � a)100% PARA UNA PROPORCIÓN 
POBLACIONAL p
p̂ � za/2 �
___
 
pq
 ___ 
n
 
donde za/2 es el valor z correspondiente a un área de a/2 en la cola derecha de una 
distribución normal z. Como p y q son incógnitas, se estiman con el uso de los me-
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E J E M P L O 8.8
jores estimadores puntuales: p̂ y q̂. El tamaño muestral se considera grande cuando 
la aproximación normal a la distribución binomio es adecuada, es decir, cuando 
np̂ 	 5 y nq̂ 	 5.
Una muestra aleatoria de 985 “probables” electores, o sea los que probablemente voten 
en la próxima elección, fueron encuestados durante un maratón telefónico realizado por 
el Partido Republicano. De ellos, 592 indicaron que tenían la intención de votar por la 
candidata republicana. Construya un intervalo de confi anza de 90% para p, la proporción 
de electores probables de la población que tienen la intención de votar por la candidata 
republicana. Con base en esta información, ¿se puede concluir que la candidata ganará 
la elección?
Solución La estimación puntual para p es
p̂ � 
n
x
 � 
5
9
9
8
2
5
 � .601
y el error estándar es
 �
___
 
p̂q̂
 ___ 
n
 � �
___________
 
(.601)(.399)
 __________ 
985
 � .016
El valor z para un intervalo de confianza de 90% es el valor que tiene área de a/2 � .05 
en la cola superior de la distribución z, o z.05 � 1.645 de la tabla 8.2. El intervalo de 
confianza del 90% para p es entonces
 p̂ � 1.645 �
___
 
p̂q̂
 ___ 
n
 
.601 � .026
o sea .575 < p < .627. Se estima que el porcentaje de probables electores que tienen 
intención de votar por la candidata republicana es entre 57.5% y 62.7%. ¿La candidata 
ganará la elección? Suponiendo que ella necesita más del 50% de los votos para ganar, y 
como los límites superior e inferior de confi anza exceden de este valor mínimo, se puede 
decir con 90% de confi anza que la candidata ganará.
Hay algunos problemas, no obstante, con este tipo de encuesta muestral. ¿Qué pasa si 
los electores que se consideran a sí mismos “probables para votar” en realidad no van a 
las casillas? ¿Qué pasa si un elector cambia de idea entre ahora y el día de la elección? 
¿Qué pasa si un elector entrevistado no responde fielmente cuando el trabajador de la 
campaña le hace preguntas? El intervalo de confianza de 90% que ha construido le da 
90% de confianza sólo si ha seleccionado una muestra aleatoria de entre la población 
de interés. Ya no se puede estar seguro de “90% de confianza” si su muestra es sesgada, 
o si la población de respuestas de votantes cambia antes del día de la elección.
Es posible que usted haya observado que el estimador puntual con su 95% de margen 
de error se ve muy semejante a un intervalo de confianza de 95% para el mismo paráme-
tro. Esta cercana relación existe para casi todos los parámetros estimados en este libro, 
pero no es verdadera en general. A veces el mejor estimador puntual para un parámetro 
no cae en la mitad del mejor intervalo de confianza; el mejor intervalo de confianza 
puede no ser siquiera una función del mejor estimador puntual. Aun cuando ésta es una 
distinción teórica, debe recordarse que hay una diferencia entre estimación puntual y 
estimación de intervalo, y que la elección entre las dos depende de la preferencia del 
experimentador.
 8.5 ESTIMACIÓN DE INTERVALO ❍ 315
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	8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
	8.5 Estimación de intervalo
	Intervalo de confianza de muestra grande para una proporción poblacional p