introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-145

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10.4 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 409
Marca genérica Sunmaid
25 26 25 28 25 29 24 24
26 28 28 27 28 24 28 22
26 27 24 25 25 28 30 27
26 26 28 24
a. Aun cuando las cantidades tienen una distribución 
normal, ¿estos datos tienen distribuciones 
aproximadamente normales? (SUGERENCIA: Use un 
histograma o gráfica de tallo y hoja.)
b. ¿Está usted dispuesto a suponer que las varianzas 
poblacionales originales son iguales? ¿Por qué?
c. Use el método del valor p para determinar si hay una 
diferencia significativa en los números medios de 
pasitas por minicaja. ¿Cuáles son las implicaciones 
de su conclusión?
10.30 Contenido de O2 disuelto, continúa Consulte 
el ejercicio 10.7, en el que medimos el contenido 
de oxígeno disuelto en agua de río para determinar si un 
arroyo tenía sufi ciente oxígeno para soportar vida acuática. 
Un inspector de control de contaminación sospechaba 
que la comunidad de un río estaba vertiendo cantidades 
de aguas negras poco tratadas al río. Para comprobar su 
teoría, sacó cinco especímenes de agua de río escogidos al 
azar en un lugar aguas arriba del pueblo, y otros cinco de 
aguas abajo. Las lecturas de oxígeno disuelto (en partes 
por millón) son como sigue:
Aguas arriba 4.8 5.2 5.0 4.9 5.1
Aguas abajo 5.0 4.7 4.9 4.8 4.9
a. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que 
el contenido medio de oxígeno aguas abajo del pueblo 
es menor que el contenido medio de oxígeno aguas 
arriba? Pruebe usando a � .05.
b. Supongamos que usted prefiere la estimación como 
método de inferencia. Estime la diferencia en los 
contenidos medios de oxígeno disuelto para lugares 
aguas arriba y abajo del pueblo. Use un intervalo de 
confianza de 95%.
10.31 Nadadores de estilo libre En un 
esfuerzo por comparar los tiempos promedio 
de natación para dos nadadores, a cada nadador se le 
pidió nadar en estilo libre una distancia de 100 yardas en 
tiempos seleccionados al azar. Los nadadores descansaron 
por completo entre vueltas y no corrieron uno contra otro, 
de modo que cada muestra de tiempos era una muestra 
aleatoria independiente. Se muestran los tiempos para 
cada una de las pruebas para los dos nadadores.
Nadador 1 Nadador 2
59.62 59.74 59.81 59.41
59.48 59.43 59.32 59.63
59.65 59.72 59.76 59.50
59.50 59.63 59.64 59.83
60.01 59.68 59.86 59.51
DATOSMISMIS
EX1031
DATOSMISMIS
EX1034
DATOSMISMIS
EX1033
Suponga que el nadador 2 fue el ganador del año pasado 
cuando los dos nadadores compitieron. ¿Le parece que el 
tiempo promedio para el nadador 2 es todavía más rápido 
que el tiempo promedio para el nadador 1 en el estilo 
libre de 100 yardas? Encuentre el valor p aproximado 
para la prueba e interprete los resultados.
10.32 Nadadores de estilo libre, continúa Consulte 
el ejercicio 10.31. Construya un límite inferior de 
confi anza de una cola y 95% para la diferencia en los 
tiempos promedio para los dos nadadores. ¿Este intervalo 
confi rma sus conclusiones en el ejercicio 10.31?
10.33 Comparación de mariscales de 
campo de la NFL ¿Cómo se compara Brett 
Favre, mariscal de campo de los empacadores de Green 
Bay, con Peyton Manning, mariscal de campo de los 
Potros de Indianápolis? La tabla siguiente muestra el 
número de pases completos para cada atleta durante la 
temporada de fútbol de 2006 de la NFL:3
Brett Favre Peyton Manning
15 17 22 25 32 25
31 28 20 26 30 29
25 24 26 14 27 21
22 5 21 21 20 22
22 22 20 14 
19 24 25 21 
a. ¿Los datos indican que hay una diferencia en el 
número promedio de pases completos para los dos 
mariscales de campo? Pruebe usando a � .05.
b. Construya un intervalo de confianza de 95% para la 
diferencia en el número promedio de pases completos 
para los dos mariscales de campo. ¿El intervalo de 
confianza confirma su conclusión del inciso a)? Explique.
10.34 Un hallazgo arqueológico Un 
artículo en Archaeometry involucraba un 
análisis de 26 muestras de cerámica romano-inglesa, 
halladas en hornos de cuatro sitios diferentes en el Reino 
Unido.9 Las muestras se analizaron para determinar 
su composición química y el porcentaje de óxido de 
aluminio en cada una de 10 muestras en dos lugares se 
muestra a continuación.
Island Thorns Ashley Rails
 18.3 17.7
 15.8 18.3
 18.0 16.7
 18.0 14.8
 20.8 19.1
¿Los datos dan sufi ciente información para indicar que hay 
una diferencia en el promedio de porcentaje de óxido 
de aluminio en los dos lugares? Pruebe al nivel de 
signifi cancia de 5%.
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410 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA 
PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS 
MEDIAS: UNA PRUEBA DE DIFERENCIA 
PAREADA
Para comparar las cualidades de desgaste de dos tipos de llantas de automóvil, A y B, 
una llanta de tipo A y una de tipo B se asignaron al azar y se montaron en las ruedas 
traseras de cada uno de cinco automóviles. Éstos se hicieron correr un número especi-
ficado de millas y se registró la cantidad de desgaste para cada llanta. Estas mediciones 
aparecen en la tabla 10.3. ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar una 
diferencia en el promedio de desgaste para los dos tipos de llantas?
10.5
La tabla 10.3 muestra una diferencia de (x�1 � x�2) � (10.24 � 9.76) � .48 entre las 
dos medias muestrales, en tanto que las desviaciones estándar de ambas muestras son 
aproximadamente 1.3. Dada la variabilidad de los datos y el pequeño número de medi-
ciones, ésta es más bien una diferencia pequeña y es probable que no se sospeche una 
diferencia en el desgaste promedio para los dos tipos de llantas. Veamos las sospechas 
usando los métodos de la sección 10.4.
Vea el análisis MINITAB de la figura 10.14. La prueba t agrupada de dos muestras se 
usa para probar la diferencia en las medias basada en dos muestras aleatorias indepen-
dientes. El valor calculado de t usado para probar la hipótesis nula H0 : m1 � m2 es t � 
.57 con valor p � .582, valor que no es casi suficientemente pequeño para indicar una 
diferencia significativa en las dos medias poblacionales. El correspondiente intervalo de 
confianza de 95%, dado como
�1.448 � (m1 � m2) � 2.408
es bastante ancho y no indica una diferencia significativa en las medias poblacionales.
TABLA 10.3 
●
 Promedio de desgaste para dos tipos de llantas 
Automóvil Tipo A Tipo B
1 10.6 10.2
2 9.8 9.4
3 12.3 11.8
4 9.7 9.1
5 8.8 8.3
 x�1 � 10.24 x�2 � 9.76
 s1 � 1.316 s2 � 1.328
Prueba T de dos muestras y CI: llanta A, llanta B
Two-sample T for Tire A vs Tire B
 N Mean StDev SE Mean
Tire A 5 10.24 1.32 0.59
Tire B 5 9.76 1.33 0.59
Difference = mu (Tire A) - mu (Tire B)
Estimate for difference: 0.480
95% CI for difference: (-1.448, 2.408)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 0.57 P-Value = 0.582 DF = 8
Both use Pooled StDev = 1.3221
FIGURA 10.14
Salida impresa MINITAB 
usando prueba t para 
muestras independientes 
para los datos de llantas
●
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 410Probabilidad_Mendenhall_10.indd 410 5/14/10 8:51:10 AM5/14/10 8:51:10 AM
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 10.5 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS: UNA PRUEBA DE DIFERENCIA PAREADA ❍ 411
Veamos de nuevo los datos y se observará que la medición del desgaste para el tipo 
A es mayor que el correspondiente valor para el tipo B, para cada uno de los cinco auto-
móviles. ¿No sería esto probable, si en realidad no hay diferencia entre los dos tipos de 
llantas?
Considere una prueba intuitiva sencilla, basada en la distribución binomial del capí-
tulo 5. Si no hay diferencia en el desgaste medio para los dos tipos de llantas, enton-
ces es igualmente probable o no probable que la llanta A muestre más desgaste que la 
llanta B. Los cinco automóviles entonces corresponden a cinco intentos binomiales con 
p � P(llanta A muestra más desgaste que la llantaB) � .5. ¿Es poco común el valor 
observado de x � 5 diferencias positivas mostradas en la tabla 10.4? La probabilidad 
de observar x � 5 o el igualmente probable valor de x � 0 se puede hallar en la tabla 1 del 
apéndice I que son 2(.031) � .062, que es bastante pequeño en comparación con la 
probabilidad de la más potente prueba t, que tenía un valor p de .58. ¿No es peculiar 
que la prueba t, que usa más información (las mediciones muestrales reales) que la 
prueba binomial, no dé suficiente información para rechazar la hipótesis nula?
Hay una explicación para esta inconsistencia. La prueba t descrita en la sección 10.4 
no es la prueba estadística propia a usar para nuestro ejemplo. El procedimiento de 
prueba estadística de la sección 10.4 requiere que las dos muestras sean independientes 
y aleatorias. Ciertamente, el requisito de independencia es violado por la forma en la 
que se realizó el experimento. El par de mediciones, en las llantas A y B, para un auto-
móvil particular están definitivamente relacionadas. Una mirada a los datos muestra que 
las lecturas tienen más o menos la misma magnitud para un automóvil particular pero 
varían en forma marcada de un automóvil a otro. Esto, por supuesto, es exactamente 
lo que podría esperarse. El desgaste de llantas está determinado en su mayor parte por 
hábitos de manejo, el balanceo de las ruedas y la superficie del pavimento. Como cada 
automóvil tiene un conductor diferente, es de esperarse una gran cantidad de variabili-
dad en los datos de un automóvil a otro.
Al diseñar el experimento de desgaste de llantas, el experimentador vio que las medi-
ciones variarían en gran medida de un automóvil a otro. Si las llantas (cinco del tipo A 
y cinco del tipo B) se asignaran al azar a las 10 ruedas, resultando en muestras aleatorias 
independientes, esta variabilidad resultaría en un gran error estándar y hacer difícil de 
detectar una diferencia en las medias. En cambio, el experimentador escogió “parear” 
las mediciones, comparando el desgaste para llantas tipo A y tipo B en cada uno de 
los cinco automóviles. Este diseño experimental, a veces llamado diseño de diferencia 
pareada o pares acoplados, nos permite eliminar la variabilidad de un auto a otro al ver 
sólo las cinco mediciones de diferencia mostradas en la tabla 10.4. Estas cinco diferen-
cias forman una sola muestra aleatoria de tamaño n � 5.
Observe que en la tabla 10.4 la media muestral de las diferencias, d � A � B, se 
calcula como
d� � �
S
n
di
� � .48
TABLA 10.4 
●
 Diferencias en desgaste de llantas, usando los datos de la tabla 10.3
Automóvil A B d � A � B
1 10.6 10.2 .4
2 9.8 9.4 .4
3 12.3 11.8 .5
4 9.7 9.1 .6
5 8.8 8.3 .5
 d� � .48
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	10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
	10.5 Inferencias de muestra pequeña para la diferencia entre dos medias: una prueba de diferencia pareada