introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-115

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Área de cola
derecha Valor z
 .05 1.645
 .025 1.96
 .01 2.33
 .005 2.58
CONSEJOMIMI
E J E M P L O 8.9
y el error estándar es
SE � �
________
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 
que se puede estimar como
SE � �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 cuando los tamaños muestrales son grandes.
2. Si las poblaciones muestreadas están distribuidas normalmente, entonces 
la distribución muestral de ( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) está distribuida normalmente exactamente, 
cualquiera que sea el tamaño muestral.
3. Si las poblaciones muestreadas no están distribuidas normalmente, entonces 
la distribución muestral de ( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) está distribuida normalmente aproxima-
damente cuando n1 y n2 son ambas de 30 o más, debido al teorema del límite 
central.
Como (m1 � m2) es la media de la distribución muestral, se deduce que ( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) es 
un estimador insesgado de (m1 � m2) con una distribución aproximadamente normal 
cuando n1 y n2 son grandes. Esto es, el estadístico
z � 
(x�1 � x�2) � (m1 � m2) ______________ 
 �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 
 
tiene una distribución z normal aproximadamente estándar y los procedimientos genera-
les de la sección 8.5 se pueden usar para construir estimaciones puntuales y de intervalo. 
Aun cuando la elección entre estimación puntual y de intervalo depende de la preferen-
cia personal del usuario, casi todos los experimentadores escogen construir intervalos de 
confianza para problemas de dos muestras. Las fórmulas apropiadas para ambos méto-
dos se dan a continuación.
ESTIMACIÓN PUNTUAL DE (m1 � m2) 
DE MUESTRA GRANDE
Estimador puntual: ( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) 
95% margen de error: � 1.96 SE � � 1.96 �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 
UN INTERVALO DE CONFIANZA DE MUESTRA 
GRANDE DE (1 � a)100% PARA (m1 � m2)
( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) � za/2 �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 
Las resistencias al desgaste de dos tipos de llantas para automóvil se compararon en 
muestras de pruebas en camino de n1 � n2 � 100 llantas para cada tipo. El número de 
millas hasta el completo desgaste se defi nió como una cantidad específi ca de desgaste 
de la llanta. Los resultados de la prueba se muestran en la tabla 8.4. Estime (m1 � m2), 
la diferencia en la media de millas hasta el completo desgaste, usando un intervalo de 
confi anza de 99%. ¿Hay diferencia en el promedio de calidad de desgaste para los dos 
tipos de llantas?
 8.6 ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES ❍ 319
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320 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
TABLA 8.4 
●
 Resumen de datos muestrales para dos tipos de llantas
Llanta 1 Llanta 2
x�1 � 26 400 millas x�2 � 25 100 millas
s21 � 1 440 000 s22 � 1 960 000
Si 0 no es el intervalo, se 
puede concluir que hay una 
diferencia en las medias 
poblacionales.
CONSEJOMIMI
E J E M P L O 8.10
TABLA 8.5 
●
 Valores muestrales para ingestas diarias de productos lácteos
 Hombres Mujeres
Tamaño muestral 50 50
Media muestral 756 762
Desviación estándar muestral 35 30
Solución La estimación puntual de (m1 � m2) es
( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) � 26 400 � 25 100 � 1300 millas
y el error estándar de ( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) se estima como
SE � �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 � 
 �
___________________
 
1 440 000
 ________ 
100
 � 
1 960 000
 ________ 
100
 � 184.4 millas
El intervalo de confianza de 99% se calcula como 
( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) � 2.58 �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 
1300 � 2.58(184.4)
1300 � 475.8
o sea 824.2 < (m1 � m2) < 1775.8. La diferencia en el promedio de millas hasta el com-
pleto desgaste para los dos tipos de llantas se estima que está entre el límite inferior 
LCL � 824.2 y el límite superior UCL � 1775.8 millas de desgaste.
Con base en este intervalo de confi anza, ¿se puede concluir que hay una diferencia 
en el promedio de millas hasta el completo desgaste para los dos tipos de llantas? Si no 
hubiera diferencia en las dos medias poblacionales, entonces m1 y m2 serían iguales a 
(m1 � m2) � 0. Si observamos el intervalo de confi anza construido, se verá que 0 no 
es uno de los posibles valores para (m1 � m2). Por tanto, no es probable que las medias 
sean iguales; se puede concluir que hay una diferencia en el promedio de millas hasta el 
completo desgaste para los dos tipos de llantas. El intervalo de confi anza ha permitido 
tomar una decisión acerca de la igualdad de las dos medias poblacionales.
El científico del ejemplo 8.6 se preguntaba si había diferencia en el promedio de ingesta 
diaria de productos lácteos entre hombres y mujeres. Él tomó una muestra de n � 50 
mujeres adultas y registró sus ingestas diarias de productos lácteos en gramos por día. 
Hizo lo mismo con hombres adultos. En la tabla 8.5 se presenta un resumen de sus 
resultados muestrales. Construya un intervalo de confianza de 95% para la diferencia 
en el promedio de ingestas diarias de productos lácteos para hombres y mujeres. ¿Se 
puede concluir que hay una diferencia en el promedio de ingestas diarias para hombres 
y mujeres?
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 EJERCICIOS8.6
Solución El intervalo de confianza se construye usando un valor de z con área de 
cola a/2 � .025 a su derecha, esto es, z.025 � 1.96. Usando las desviaciones muestrales 
estándar para aproximar las desviaciones estándar poblacionales desconocidas, el inter-
valo de 95% de confianza es
 ( 
_
 x 1 � 
_
 x 2) � 1.96 �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 
(756 � 762) � 1.96 �
_________
 35
2
 ___ 
50
 � 35
2
 ___ 
50
 
 �6 � 12.78
o sea �18.78 < (m1 � m2) < 6.78. Veamos los posibles valores para (m1 � m2) del inter-
valo de confi anza. Es posible que la diferencia (m1 � m2) pudiera ser negativa (lo cual 
indica que el promedio para mujeres excede del promedio para hombres), pudiera ser 
positiva (lo cual indica que los hombres tienen el promedio más alto) o pudiera ser 0 
(lo cual indica que no hay diferencia entre los promedios). Con base en esta información, 
no estaríamos dispuestos a concluir que hay una diferencia en el promedio de ingestas 
diarias de productos lácteos para hombres y mujeres.
Los ejemplos 8.9 y 8.10 merecen más comentarios respecto a usar estimaciones 
muestrales en lugar de parámetros desconocidos. La distribución muestral de
 
(x�1 � x�2) � (m1 � m2) ______________ 
 �
_______
 
 s 1 
2 
 __ n1 � 
 s 2 
2 
 __ n2 
 
tiene una distribución normal estándar para todos los tamaños muestrales cuando ambas 
poblaciones muestreadas son normales, y una distribución normal estándar aproximada 
cuando las poblaciones muestreadas no sean normales pero los tamaños muestrales sean 
grandes (� 30). Cuando s 21 y s
2
2 no se conocen y son estimadas por las estimaciones 
muestrales s21 y s
2
2, la estadística resultante todavía tendrá una distribución normal están-
dar aproximada cuando los tamaños muestrales sean grandes. El comportamiento de esta 
estadística cuando las varianzas poblacionales son desconocidas, y los tamaños muestra-
les sean pequeños, se estudiará en el capítulo 10.
TÉCNICAS BÁSICAS
8.39 Muestras aleatorias independientes se 
seleccionaron de las poblaciones 1 y 2. Los tamaños 
muestrales, medias y varianzas son como sigue:
 Población
 1 2
Tamaño muestral 35 49
Media muestral 12.7 7.4
Varianza muestral 1.38 4.14
a. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para esti-
mar la diferencia en las medias poblacionales (m1 � m2).
b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), 
¿se puede concluir que hay una diferencia en las 
medias para las dos poblaciones? Explique.
8.40Muestras aleatorias independientes se 
seleccionaron de las poblaciones 1 y 2. Los tamaños 
muestrales, medias y varianzas son como sigue:
 Población
 1 2
Tamaño muestral 64 64
Media muestral 2.9 5.1
Varianza muestral 0.83 1.67
 8.6 ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES ❍ 321
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	8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
	8.6 Estimación de la diferencia entre dos medias poblacionales
	Ejercicios