introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-146

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412 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
y es exactamente la misma que la diferencia de las medias muestrales: (x�1 � x�2) � 
(10.24 � 9.76) � .48. No debe sorprender que esto se pueda demostrar como verdadero 
en general y también que la misma relación se cumpla para las medias poblacionales. 
Esto es, el promedio de las diferencias poblacionales es
md � (m1 � m2)
Debido a esto, se pueden usar las diferencias muestrales para probar una diferencia sig-
nificativa en las dos medias poblacionales, (m1 � m2) � md. La prueba es una prueba t de 
una sola muestra de las mediciones de diferencia para probar la hipótesis nula
H0 : md � 0 [o H0 : (m1 � m2) � 0]
contra la hipótesis alternativa
Ha : md � 0 [o Ha : (m1 � m2) � 0]
Los procedimientos de prueba toman la misma forma que los procedimientos empleados 
en la sección 10.3 y se describen a continuación.
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DIFERENCIA PAREADA 
PARA (m1 � m2) � md: MUESTRAS DEPENDIENTES
1. Hipótesis nula: H0 : md � 0
2. Hipótesis alternativa:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : md � 0 Ha : md � 0
 (o Ha : md � 0)
3. Estadístico de prueba: t � d� � 0 _____ 
sd/ �
__
 n 
 � d� _____ 
sd/ �
__
 n 
 
 donde n � Número de diferencias pareadas 
 d� � Media de las diferencias muestrales
 sd � Desviación estándar de las diferencias muestrales
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 t � ta t � ta/2 o t � �ta/2
 (o t � �ta cuando la hipótesis
 alternativa sea Ha : md � 0)
 o cuando valor p � a
 Los valores críticos de t, ta y ta/2 están basados en (n � 1) df. Estos valores tabulados 
se pueden hallar usando la tabla 4 o el applet Student’s t Probabilities.
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 10.5 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS: UNA PRUEBA DE DIFERENCIA PAREADA ❍ 413
INTERVALO DE CONFIANZA DE MUESTRA PEQUEÑA 
(1 � a)100% PARA (m1 � m2) � md, CON BASE EN UN 
EXPERIMENTO DE DIFERENCIA PAREADA
d� 	 ta/2� sd ___ �__ n �
 Suposiciones: El experimento está diseñado como una prueba de diferencia pareada 
de modo que las n diferencias representan una muestra aleatoria tomada de una pobla-
ción normal. 
¿Los datos de la tabla 10.3 dan suficiente evidencia para indicar una diferencia en el 
desgaste medio para llantas tipo A y B? Pruebe usando a � .05.
Solución Usted puede verificar, usando su calculadora, que el promedio y desvia-
ción estándar de las cinco mediciones de diferencia son
d� � .48 y sd � .0837
Entonces
H0 : md � 0 y Ha : md � 0
y
t � d� � 0 _____ 
sd/ �
__
 n 
 � .48 __________ 
.0837/ �
__
 5 
 � 12.8
El valor crítico de t para una prueba estadística de dos colas, a � .05 y 4 df, es 2.776. 
Ciertamente, el valor observado de t � 12.8 es muy grande y signifi cativo. En consecuen-
cia, se puede concluir que hay una diferencia en el desgaste medio para llantas tipo A y B.
Encuentre un intervalo de confianza de 95% para (m1 � m2) � md usando los datos de 
la tabla 10.3.
Solución Un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre los niveles 
medios de desgaste es
d� 	 ta/2� sd ___ �__ n �
.48 	 2.776� .0837 _____ �__ 5 �
.48 	 .10
o sea .38 � (m1 � m2) � .58. ¿Cómo se compara el ancho de este intervalo con el ancho 
de un intervalo que pudiera haberse construido si se hubiera diseñado el experimento en 
forma no pareada? Es probable que hubiera sido de la misma magnitud que el intervalo 
calculado en la fi gura 10.14, donde los datos observados fueron incorrectamente analiza-
dos usando el análisis no pareado. Este intervalo, �1.45 � (m1 � m2) � 2.41, es mucho 
más ancho que el intervalo pareado, lo cual indica que el diseño de diferencia pareada 
aumentó la precisión de nuestra estimación y hemos obtenido valiosa información con el 
uso de este diseño.
La prueba de diferencia pareada o diseño de pares acoplados empleados en el expe-
rimento de desgaste de llantas es un ejemplo sencillo de un diseño experimental deno-
minado diseño de bloque aleatorizado.
E J E M P L O 10.8
E J E M P L O 10.9
Los intervalos de confi anza 
siempre se interpretan en la 
misma forma. En muestreo 
repetido, los intervalos 
construidos de este modo 
encierran el verdadero 
valor del parámetro 
100(1 � a)% del tiempo.
CONSEJOMIMI
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414 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Cuando hay gran cantidad de variabilidad entre las unidades experimentales, aun antes 
de ponerse en práctica ningún procedimiento experimental, el efecto de esta variabi-
lidad se puede reducir al mínimo al bloquear, es decir, comparar los diferentes proce-
dimientos dentro de grupos de unidades experimentales relativamente similares llama-
das bloques. De este modo, el “ruido” causado por la gran variabilidad no oculta las 
verdaderas diferencias entre los procedimientos. En el capítulo 11 analizaremos con 
más detalle los diseños aleatorizados de bloque.
Es importante que recuerde que el pareo o bloqueo se presenta cuando se planea el 
experimento y no después de recolectar los datos. Un experimentador puede escoger 
usar pares de gemelos idénticos para comparar dos métodos de aprendizaje. Un médico 
puede registrar la presión sanguínea de un paciente antes y después de administrar un 
medicamento en particular. Una vez que usted haya empleado un diseño pareado para 
un experimento, ya no tiene oportunidad de usar el análisis pareado de la sección 10.4. 
La suposición de independencia ha sido violada a propósito y la única opción es usar el 
análisis pareado descrito aquí.
Aun cuando hacer un pareado fue benéfico en el experimento de desgaste de llantas, 
éste puede no ser siempre el caso. En el análisis pareado, los grados de libertad para 
la prueba t se cortan a la mitad, es decir, de (n � n � 2) � 2(n � 1) a (n � 1). Esta 
reducción aumenta el valor crítico de t para rechazar H0 y también aumenta el ancho del 
intervalo de confianza para la diferencia en las dos medias. Si el pareado no es eficiente, 
este aumento no es compensado por una disminución en la variabilidad y de hecho se 
puede perder y no ganar información por el pareado. Esto por supuesto que no ocurrió 
en todo el experimento, ya que la reducción grande en el error estándar compensó la 
pérdida en grados de libertad.
Excepto por la notación, el análisis de diferencia pareada es igual que el análisis de 
una sola muestra presentado en la sección 10.3. No obstante, MINITAB da un solo proce-
dimiento llamado Paired t para analizar las diferencias, como se ve en la figura 10.15. 
El valor p para el análisis pareado, .000, indica una diferencia altamente significativa en 
las medias. Usted encontrará instrucciones para generar esta salida impresa MINITAB 
en la sección “Mi MINITAB ” al final de este capítulo.
 EJERCICIOS10.5
TÉCNICAS BÁSICAS
10.35 Se realizó un experimento de diferencia pareada 
usando n � 10 pares de observación.
a. Pruebe la hipótesis nula H0 : (m1 � m2) � 0 contra 
Ha : (m1 � m2) � 0 para a � .05, d� � .3 y s2d � .16. 
Dé el valor p aproximado para la prueba.
b. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 
(m1 � m2).
c. ¿Cuántos pares de observaciones se necesitan si se 
desea estimar (m1 � m2) correcta a no más de .1 con 
probabilidad igual a .95?
10.36 Un experimento de diferencia pareada consta de 
n � 18 pares d� � 5.7, y s2d � 256. Suponga que se desea 
detectar md � 0.
a. Dé la hipótesis nula y alternativa para la prueba.
b. Efectúe la prueba y exprese sus conclusiones.
Prueba T pareada y CI: llanta A, llanta B
Paired T for Tire A - Tire B
 N Mean StDev SE Mean
Tire A 5 10.240 1.316 0.589
Tire B 5 9.760 1.328 0.594
Difference 5 0.4800 0.0837 0.0374
95% CI for mean difference: (0.3761, 0.5839)
T-Test of meandifference = 0 (vs not = 0): T-Value = 12.83 P-Value = 0.000
FIGURA 10.15
Salida impresa MINITAB 
para análisis de diferen-
cia pareada de datos del 
desgaste de llantas
●
Prueba de diferencia pareada:
df � n � 1.
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	10.5 Inferencias de muestra pequeña para la diferencia entre dos medias: una prueba de diferencia pareada
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