introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-158

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448 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
EL DISEÑO DE UN EXPERIMENTO
La forma en que una muestra sea seleccionada se denomina plan de muestreo o diseño 
experimental y determina la cantidad de información en la muestra. Algunas investiga-
ciones comprenden un estudio observacional, en las que el investigador no produce en 
realidad los datos sino que sólo observa las características de datos que ya existen. Casi 
todos los estudios muestrales, en donde se reúne información con un cuestionario, caen 
en esta categoría, el investigador forma un plan para recolectar los datos, llamado plan 
de muestreo y a continuación utiliza los procedimientos estadísticos apropiados para 
sacar conclusiones acerca de la población o poblaciones de donde proviene la muestra.
Otra investigación comprende la experimentación. El investigador puede delibera-
damente imponer una o más condiciones experimentales, en las unidades experimen-
tales, para determinar su efecto en la respuesta. Veamos ahora algunos términos nuevos 
que usaremos para discutir el diseño de un experimento estadístico.
Defi nición Una unidad experimental es el objeto en el que se toma una medición 
(o mediciones).
Un factor es una variable independiente cuyos valores son controlados y variados por 
el experimentador.
Un nivel es el escenario de intensidad de un factor.
Un tratamiento es una combinación específi ca de niveles de factor.
La respuesta es la variable que es medida por el experimentador.
Un grupo de personas se divide al azar en un grupo experimental y uno de control. Al 
grupo de control se le da un examen de aptitud después de haber tomado un desayuno 
completo; al grupo experimental se le da el mismo examen sin haber tomado ningún 
desayuno. ¿Cuáles son los factores, niveles y tratamientos en este experimento?
Solución Las unidades experimentales son las personas en las que la respuesta (cali-
fi cación de examen) se mide. El factor de interés podría describirse como “comida” y 
tiene dos niveles: “desayuno” y “no desayuno”. Como éste es el único factor controlado 
por el experimentador, los dos niveles de “desayuno” y “no desayuno” también repre-
sentan los tratamientos de interés en el experimento.
Suponga que el experimentador del ejemplo 11.1 empezó por seleccionar al azar 20 
hombres y 20 mujeres para el experimento. Estos dos grupos se dividieron entonces al 
azar en 10 cada uno para los grupos experimental y de control. ¿Cuáles son los factores, 
niveles y tratamientos en este experimento?
Solución Ahora hay dos factores de interés para el experimentador y cada factor 
tiene dos niveles:
• “Género” a dos niveles: hombres y mujeres
• “Comida” a dos niveles: desayuno y no desayuno
En este experimento más complejo, hay cuatro tratamientos, uno para cada combinación 
específi ca de niveles de factor: hombres sin desayuno, hombres con desayuno, mujeres 
sin desayuno y mujeres con desayuno.
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 11.3 LAS SUPOSICIONES PARA UN ANÁLISIS DE VARIANZA ❍ 449
En este capítulo, nos concentraremos en experimentos que han sido diseñados en tres 
formas diferentes y usaremos una técnica llamada análisis de varianza para juzgar los 
efectos de varios factores en la respuesta experimental. Dos de estos diseños experimen-
tales son extensiones de los diseños no apareados y apareados del capítulo 10.
¿QUÉ ES UN ANÁLISIS DE VARIANZA?
Las respuestas que se generan en una situación experimental siempre exhiben cierta 
cantidad de variabilidad. En un análisis de varianza, se divide la variación total de las 
mediciones de respuesta en partes que pueden ser atribuidas a varios factores de inte-
rés para el experimentador. Si el experimento ha sido debidamente diseñado, estas 
partes pueden usarse entonces para contestar preguntas acerca de los efectos de los 
diversos factores en la respuesta de interés.
Se puede entender mejor la lógica que sirve de base a un análisis de varianza al ver 
un experimento sencillo. Considere dos conjuntos de muestras seleccionadas al azar de 
las poblaciones 1 (�) y 2 (�), cada uno con pares idénticos de medias; x�1 y x�2. Los dos 
conjuntos se muestran en la fi gura 11.1. ¿Es más fácil detectar la diferencia en las 
dos medias cuando se vea el conjunto A o el conjunto B? Es probable que esté de acuerdo 
en que el conjunto A muestra la diferencia mucho más claramente. En el conjunto A, la 
variabilidad de las mediciones dentro de los grupos (los � y �) es mucho menor que 
la variabilidad entre los dos grupos. En el conjunto B, hay más variabilidad dentro de los 
grupos (los � y �), causando que los dos grupos se “mezclen” y hagan más difícil ver 
la diferencia idéntica en las medias.
11.2
La comparación que ha hecho intuitivamente es formalizada por el análisis de 
varianza. Es más, el análisis de varianza se puede hacer no sólo para comparar dos 
medias sino también para hacer comparaciones de más de dos medias poblacionales y 
para determinar los efectos de varios factores en diseños experimentales más complejos. 
El análisis de varianza se apoya en estadísticas con distribuciones muestrales que son 
modeladas por la distribución F de la sección 10.7.
LAS SUPOSICIONES PARA UN ANÁLISIS 
DE VARIANZA
Las suposiciones necesarias para un análisis de varianza son semejantes a las requeri-
das para las estadísticas t de Student y F del capítulo 10. Cualquiera que sea el diseño 
experimental empleado para generar los datos, se debe suponer que las observaciones 
dentro de cada grupo de tratamiento están normalmente distribuidas con una varianza 
común s2. Al igual que en el capítulo 10, el análisis de procedimientos de varianza es 
más bien robusto cuando los tamaños muestrales son iguales y cuando los datos son de 
forma de montículo. Violar la suposición de una varianza común es más serio, en espe-
cial cuando los tamaños muestrales no son cercanamente iguales.
Conjunto A Conjunto B
FIGURA 11.1
Dos conjuntos de muestras 
con las mismas medias
●
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450 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
SUPOSICIONES PARA ANÁLISIS DE EXAMEN 
DE VARIANZA Y PROCEDIMIENTOS DE ESTIMACIÓN
• Las observaciones dentro de cada población están distribuidas normalmente con 
una varianza común s2.
• Las suposiciones respecto al procedimiento de muestreo son especifi cadas para 
cada diseño en las secciones que siguen.
Este capítulo describe el análisis de varianza para tres diseños experimentales dife-
rentes. El primer diseño está basado en muestreo aleatorio independiente de varias 
poblaciones y es una extensión de la prueba t no pareada del capítulo 10. El segundo 
es una extensión del diseño de diferencia pareada o pares acoplados y comprende una 
asignación aleatoria de tratamientos dentro de conjuntos apareados de observaciones. 
El tercero es un diseño que permite juzgar el efecto de dos factores experimentales en 
la respuesta. Los procedimientos de muestreo necesarios para cada diseño se vuelven a 
expresar en sus secciones respectivas.
EL DISEÑO COMPLETAMENTE 
ALEATORIZADO: UNA CLASIFICACIÓN 
EN UNA DIRECCIÓN
Uno de los diseños experimentales más sencillos es el diseño completamente aleato-
rizado, en el que muestras aleatorias se seleccionan de manera independiente de cada 
una de k poblaciones. Este diseño comprende sólo un factor, la población de donde 
proviene la medición, de aquí la designación como una clasifi cación en una dirección. 
Hay k niveles diferentes correspondientes a las k poblaciones, que también son los trata-
mientos para esta clasifi cación de una dirección. ¿Las k medias poblacionales son todas 
iguales, o al menos una media es diferente de las otras?
¿Por qué se necesita un nuevo procedimiento, el análisis de varianza, para comparar 
las medias poblacionalescuando ya se tiene disponible la prueba t de Student? Al com-
parar k � 3 medias, se podría probar cada uno de los tres pares de hipótesis:
H0 : m1 � m2 H0 : m1 � m3 H0 : m2 � m3
para averiguar dónde están las diferencias. No obstante, se debe recordar que cada prue-
ba que se realice está sujeta a la posibilidad de error. Para comparar k � 4 medias, se 
necesitarían seis pruebas y se necesitarían 10 pruebas para comparar k � 5 medias. 
Cuantas más pruebas se realicen en un conjunto de mediciones, más probable será que al 
menos una de las conclusiones sea incorrecta. El análisis de procedimiento de varianza 
provee una prueba general para juzgar la igualdad de las k medias poblacionales. Una 
vez que haya determinado si hay en realidad una diferencia en las medias, se puede usar 
otro procedimiento para averiguar dónde están las diferencias.
¿Cómo se pueden seleccionar estas k muestras aleatorias? A veces las poblaciones 
existen en realidad y se puede usar un generador computarizado de números aleatorios 
o una tabla de números aleatorios para seleccionar al azar las muestras. Por ejemplo, en 
un estudio para comparar los tamaños promedio de reclamaciones de seguro médico 
en cuatro estados diferentes, se podría usar una base de datos computarizada proporcio-
nada por las compañías de seguros médicos para seleccionar muestras aleatorias de los 
cuatro estados. En otras situaciones, las poblaciones pueden ser hipotéticas y se pueden 
generar respuestas sólo después de haberse aplicado los tratamientos experimentales.
Un investigador está interesado en los efectos de cinco tipos de insecticidas a usar para 
controlar el gorgojo del algodón en campos algodoneros. Explique cómo poner en 
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	11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
	11.1 El diseño de un experimento
	11.2 ¿Qué es un análisis de varianza?
	11.3 Las suposiciones para un análisis de varianza
	11.4 El diseño completamente aleatorizado: una clasificación en una dirección