introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-169

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11.10 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN EXPERIMENTO FACTORIAL a � b ❍ 481
CÁLCULO DE LAS SUMAS DE CUADRADOS PARA 
UN EXPERIMENTO FACTORIAL DE DOS FACTORES
 CM � G
2
 ___ n SS Total � Sx
2 � CM
 SSA � S 
A2i __ br � CM SSB � S 
B2j
 __ ar � CM
 SS(AB) � S 
(AB)2ij
 _____ r � CM � SSA � SSB
donde
 G � Suma de todas las n � abr observaciones
 Ai � Total de todas las observaciones al i-ésimo nivel del factor A, 
i � 1, 2, …, a
 Bj � Total de todas las observaciones al j-ésimo nivel del factor B, 
j � 1, 2, …, b
 (AB)ij � Total de las r observaciones al i-ésimo nivel del factor A y el j-ésimo 
nivel del factor B
Cada una de las cinco fuentes de variación, cuando se dividen entre los grados de 
libertad apropiados, da una estimación de la variación en el experimento. Estas esti-
maciones se denominan cuadráticos medios, MS � SS/df, y se muestran junto con sus 
respectivas sumas de cuadrados y df en la tabla de análisis de varianza (o ANOVA).
TABLA ANOVA PARA r RÉPLICAS DE UN 
EXPERIMENTO FACTORIAL DE DOS 
FACTORES: FACTOR A A NIVELES a 
Y FACTOR B A NIVELES b
Fuente df SS MS F
A a � 1 SSA MSA � 
SSA
 _____ 
a �1
 �
M
M
S
S
A
E
�
B b � 1 SSB MSB � SSB _____ 
b � 1
 �
M
M
S
S
B
E
�
AB (a � 1)(b � 1) SS(AB) MS(AB) � 
SS(AB)
 ___________ 
(a �1)(b � 1)
 
MS(AB)
 ______ 
MSE
 
Error ab (r � 1) SSE MSE � 
SSE
 _______ 
ab (r � 1)
 
Total abr � 1 SS Total
Finalmente, la igualdad de medias para varios niveles de las combinaciones de fac-
tor (el efecto de interacción) y para los niveles de ambos efectos principales, A y B, se 
puede probar usando las pruebas F de ANOVA, como se ve a continuación.
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482 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
PRUEBAS PARA UN EXPERIMENTO FACTORIAL
• Para interacción:
1. Hipótesis nula: H0 : Los factores A y B no interactúan
2. Hipótesis alternativa: Ha : Los factores A y B interactúan
3. Prueba estadística: F � MS((AB)/MSE, donde F está basada en df1 � (a � 1)
(b � 1) y df2 � ab(r � 1)
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando F � Fa, donde Fa está en la cola superior 
de la distribución F (véase la fi gura), o cuando el valor p � a
• Para efectos principales, factor A:
1. Hipótesis nula: H0 : No hay diferencias entre las medias del factor A
2. Hipótesis alternativa: Ha : Al menos dos de las medias del factor A difi eren
3. Prueba estadística: F � MSA/MSE, donde F está basada en df1 � (a � 1) y 
df2 � ab(r � 1)
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando F � Fa (véase la fi gura), o cuando el 
valor p � a
• Para efectos principales, factor B:
1. Hipótesis nula: H0 : No hay diferencias entre las medias del factor B
2. Hipótesis alternativa: Ha : Al menos dos de las medias del factor B difi eren
3. Prueba estadística: F � MSB/MSE, donde F está basada en df1 � (b � 1) y 
df2 � ab(r � 1)
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando F � Fa (véase la fi gura), o cuando el 
valor p � a
E J E M P L O 11.12
F
α
f(F)
Fα
0
La tabla 11.6 muestra los datos originales empleados para generar la tabla 11.5 del ejem-
plo 11.11. Esto es, los dos supervisores fueron observados en tres días seleccionados al 
azar para cada uno de los tres turnos diferentes, registrándose las salidas de producción. 
Analice estos datos usando el procedimiento apropiado de análisis de varianza.
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 11.10 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN EXPERIMENTO FACTORIAL a � b ❍ 483
TABLA 11.6 
●
 Producciones para dos supervisores en tres turnos
Turno
Supervisor Diurno Vespertino Nocturno
1 571 480 470
610 474 430
625 540 450
2 480 625 630
516 600 680
465 581 661
Solución La salida impresa de computadora de la fi gura 11.13 fue generada usando 
el procedimiento de dos vías de análisis de varianza del paquete de software MINITAB. Se 
pueden verifi car las cantidades de la tabla ANOVA usando las fórmulas de cálculo pre-
sentadas antes o se puede escoger sólo usar los resultados e interpretar su signifi cado.
En este punto, es indudable que usted haya descubierto el patrón conocido para probar 
la signifi cancia de los diversos factores experimentales con la estadística F y su valor 
p. El valor p pequeño (P � .000) en el renglón marcada “Supervisor” signifi ca que hay 
sufi ciente evidencia para declarar una diferencia en los niveles medios para el factor A, 
es decir, una diferencia en producciones medias por supervisor. Este hecho es visual-
mente aparente en los intervalos de confi anza que no se traslapan para las medias del 
supervisor que se ven en la salida impresa. Pero esto es dominado por el hecho de que 
hay una fuerte evidencia (P � .000) de una interacción entre los factores A y B. Esto 
signifi ca que el promedio de producción para un turno determinado depende del super-
visor en servicio. Se vio claramente este efecto en la fi gura 11.11. Las tres producciones 
medias más grandes ocurren cuando el supervisor 1 está en el turno de día y cuando el 
supervisor 2 está ya sea en el turno vespertino o nocturno. Como resultado práctico, 
el gerente debe programar al supervisor 1 para el turno de día y al supervisor 2 para el 
turno de noche.
Si la interacción no es 
signifi cativa, pruebe 
cada uno de los factores 
individualmente.
CONSEJOMIMI
FIGURA 11.13
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 11.12
● ANOVA de dos vías: producción contra supervisor, turno
Source DF SS MS F P
Supervisor 1 19208 19208.0 26.68 0.000
Shift 2 247 123.5 0.17 0.844
Interaction 2 81127 40563.5 56.34 0.000
Error 12 8640 720.0
Total 17 109222
S = 26.83 R-Sq = 92.09% R-Sq(adj) = 88.79%
 Individual 95% CIs For Mean Based on
 Pooled StDev
Supervisor Mean ----+---------+---------+---------+-----
1 516.667 (-------*------)
2 582.000 (-------*-------) 
 ----+---------+---------+---------+-----
 510 540 570 600
 Individual 95% CIs For Mean Based on
 Pooled StDev
Shift Mean ---+---------+---------+---------+--------
Day 544.5 (---------------*---------------)
Swing 550.0 (---------------*---------------)
Night 553.5 (---------------*---------------)
 ---+---------+---------+---------+--------
 525 540 555 570
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