introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-177

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12.2 MODELO PROBABILÍSTICO LINEAL SIMPLE ❍ 505
La primera parte de la ecuación, a � bx, llamada recta de medias, describe el valor 
promedio de y para un valor determinado de x. El componente de error e permite que 
cada respuesta individual y se desvíe de la recta de medias en una pequeña cantidad.
Para usar este modelo probabilístico para hacer inferencias, es necesario ser más 
específi co acerca de esta “pequeña cantidad”, e.
SUPOSICIONES ACERCA DEL ERROR ALEATORIO e
Suponga que los valores de e satisfacen estas condiciones:
• Son independientes en el sentido probabilístico
• Tienen una media de 0 y una varianza común igual a s2
• Tienen una distribución normal de probabilidad
Estas suposiciones acerca del error aleatorio e se muestran en la fi gura 12.3 para tres 
valores fi jos de x, por ejemplo x1, x2 y x3. Observe la similitud entre estas suposiciones y 
las suposiciones necesarias para las pruebas en los capítulos 10 y 11. Repasaremos estas 
suposiciones más adelante en este capítulo y daremos algunas herramientas de diagnós-
tico para que usted las use al verifi car la validez de ellas.
100
90
80
70
60
50
 20 30 40 50 60 70 80
Puntos
C
al
if
ic
ac
ió
n
FIGURA 12.2
Gráfi ca de dispersión de 
datos de la tabla 12.1
●
x
y
x1 x2 x3
FIGURA 12.3
Modelo probabilístico 
lineal
●
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506 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
Recuerde que este modelo está creado para una población de mediciones que por lo 
general es desconocida, pero puede usar información muestral para estimar los valores 
de a y b, que son los coefi cientes de la recta de medias, E(y) � a � bx. Estas estimacio-
nes se usan para formar la recta de mejor ajuste para un conjunto de datos determinado, 
llamado recta de mínimos cuadrados o recta de regresión. En la siguiente sección 
repasamos la forma de calcular el punto de cruce y la pendiente de esta recta.
EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
El procedimiento estadístico para hallar la recta de mejor ajuste para un conjunto de datos 
bivariados hace, matemáticamente, lo que en forma visual se realiza cuando se mueve 
una regla hasta que se hayan reducido al mínimo las distancias verticales o desviaciones, 
de la regla a un conjunto de puntos. La fórmula de la recta de mejor ajuste es
ŷ � a � bx
donde a y b son las estimaciones de los parámetros a y b de punto de cruce y pendiente, 
respectivamente. La recta ajustada para los datos de la tabla 12.1 se muestra en el applet 
Method of Least Squares (Método de mínimos cuadrados), fi gura 12.4. Las rectas ver-
ticales rojas (azul claro en la fi gura 12.4) trazadas de la recta de predicción a cada punto 
(xi, yi) representan las desviaciones de los puntos desde la recta.
12.3
FIGURA 12.4
Applet Method of Least 
Squares
●
Para reducir al mínimo las distancias desde los puntos a la recta ajustada, se puede 
usar el principio de mínimos cuadrados.
PRINCIPIO DE MÍNIMOS CUADRADOS
La recta que reduce al mínimo la suma de cuadrados de las desviaciones de los valo-
res observados de y desde los pronosticados es la recta de mejor ajuste. La 
suma del cuadrado de las desviaciones por lo general se denomina suma de 
cuadrados de error (SSE) y se defi ne como
SSE � S( yi � ŷi)
2 � S( yi � a � bxi)
2
pendiente � coefi ciente de x.
cruce con eje y � término 
constante.
CONSEJOMIMI
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 12.3 EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ❍ 507
Observe la recta de regresión y los puntos de la fi gura 12.4. SSE es la suma del cuadrado 
de las distancias representada por el área de los cuadros amarillos (azul claro en la fi gura 
12.4).
Hallar los valores de a y b, las estimaciones de a y b, usa cálculo diferencial, que 
está fuera del propósito de este libro. En lugar de derivar sus valores, simplemente pre-
sentaremos fórmulas para calcular los valores de a y b, llamados estimadores de míni-
mos cuadrados de a y b. Usaremos una notación que está basada en las sumas de 
cuadrados para las variables del problema de regresión, que es semejante en forma a 
las sumas de cuadrados empleadas en el capítulo 11. Estas fórmulas se ven diferentes 
de las fórmulas presentadas en el capítulo 3, pero en realidad son idénticas desde el 
punto de vista del álgebra.
Usted debe usar el método de entrada de datos para su calculadora científi ca para 
introducir los datos muestrales.
• Si su calculadora tiene sólo una función estadística de una variable, todavía 
puede ahorrar tiempo al hallar las sumas necesarias y sumas de cuadrados.
• Si su calculadora tiene una función estadística de dos variables o si tiene una 
calculadora grafi cadora, la calculadora en forma automática guarda todas las 
sumas y sumas de cuadradas, así como los valores de a, b y el coefi ciente de 
correlación r.
• Asegúrese de consultar el manual de su calculadora para hallar la forma más fácil 
de obtener los estimadores de mínimos cuadrados.
ESTIMADORES DE MÍNIMOS CUADRADOS DE a Y b
b � 
Sxy ___ 
 Sxx
 y a � y� � bx�
donde las cantidades Sxy y Sxx están defi nidas como
Sxy � S(xi � x�)( yi � y�) � Sxiyi � 
(Sxi)(Syi) ________ n 
y
Sxx � S(xi � x�)
2 � Sx 2i � 
(Sxi)
2
 _____ n 
Observe que la suma de cuadrados de los valores x se encuentra usando la fórmula de 
cómputo dada en la sección 2.3 y la suma de los productos cruz es el numerador de la 
covarianza defi nida en la sección 3.4.
Encuentre la recta de predicción de mínimos cuadrados para los datos de la califi cación 
en cálculo de la tabla 12.1.
Solución Use los datos de la tabla 12.2 y el método de introducción de datos en su 
calculadora científi ca para hallar las siguientes sumas de cuadrados:
Sxx � Sx
2
i � 
(Sxi)
2
 _____ n � 23 634 � 
(460)2
 ______ 
10
 � 2474
Sxy � Sxiyi � 
(Sxi)(Syi) ________ n � 36 854 � 
(460)(760)
 _________ 
10
 � 1894
 y� � 
Syi ___ n � 
760 ____ 
10
 � 76 x� � 
Syi ___ n � 
460 ____ 
10
 � 46
E J E M P L O 12.1
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	12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
	12.3 El método de mínimos cuadrados