introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-185

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12.7 ESTIMACIÓN Y PREDICCIÓN USANDO LA RECTA AJUSTADA ❍ 529
INTERVALOS DE CONFIANZA Y PREDICCIÓN 
(1 � a)100%
• Para estimar el valor promedio de y cuando x � x0:
 ŷ � ta/2 �
__________________
 MSE
 1 __ n � (x0 � x� )
2
 ________ 
Sxx
 � 
• Para predecir un valor particular de y cuando x � x0:
 ŷ � ta/2 �
______________________
 MSE
1 � 1 __ n � (x0 � x� )
2
 ________ 
Sxx
 � 
 donde ta/2 es el valor de t con (n � 2) grados de libertad y área a/2 a su derecha.
Use la información del ejemplo 12.1 para estimar el promedio de califi caciones en 
cálculo para estudiantes cuya puntuación de aprovechamiento es 50, con un intervalo de 
confi anza de 95%.
Solución La estimación puntual de E(y�x0 � 50), el promedio de califi cación en 
cálculo para estudiantes cuya puntuación de aprovechamiento es 50, es
ŷ � 40.78424 � .76556(50) � 79.06
El error estándar de ŷ es
 �
__________________
 MSE
 1 __ n � (x0 � x� )
2
 ________ 
Sxx
 � � �
_______________________
 75.7532
 1 ___ 10 � (50 � 46)
2
 _________ 
2474
 � � 2.840
y el intervalo de confi anza de 95% es
79.06 � 2.306(2.840)
79.06 � 6.55
Nuestros resultados indican que el promedio de califi cación en cálculo para estudiantes 
cuya puntuación de 50 en el examen de aprovechamiento estará entre 72.51 y 85.61.
Un estudiante tomó el examen de aprovechamiento y obtuvo 50 pero todavía no ha 
tomado el examen de cálculo. Usando la información del ejemplo 12.1, prediga la califi -
cación en cálculo para este estudiante, con un intervalo de predicción de 95%.
Solución El valor predicho de y es ŷ � 79.06, como en el ejemplo 12.4. No obstante, 
el error en predicción se mide con SE( y � ŷ), y el intervalo de predicción de 95% es
79.06 � 2.306 �
____________________________
 75.7532
�1 � 1 ___ 10 � (50 � 46)
2
 _________ 
2474
 � 
79.06 � 2.306(9.155)
79.06 � 21.11
o sea de 57.95 a 100.17. El intervalo de predicción es más ancho que el intervalo de 
confi anza del ejemplo 12.4 por la variabilidad extra al predecir el valor real de la res-
puesta y.
E J E M P L O 12.4
E J E M P L O 12.5
Probabilidad_Mendenhall_12.indd 529Probabilidad_Mendenhall_12.indd 529 5/14/10 8:37:41 AM5/14/10 8:37:41 AM
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530 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
Es frecuente que un punto particular sobre la recta de medias sea de interés para expe-
rimentadores, la intersección-y a, es decir, el valor promedio de y cuando x0 � 0.
Antes de ajustar una recta a los datos de la califi cación en cálculo y puntos de aprove-
chamiento, se puede pensar que una puntuación de 0 en el examen de aprovechamiento 
puede predecir una califi cación de 0 en el examen de cálculo. Esto implica que debemos 
ajustar un modelo con a igual a 0. ¿Los datos apoyan la hipótesis de un punto de cruce 
en 0?
Solución Se puede contestar esta pregunta al construir un intervalo de confi anza de 
95% para el punto a de cruce con el eje y, que es el valor promedio de y cuando x � 0. 
La estimación de a es
ŷ � 40.784 � .76556(0) � 40.784 � a
y el intervalo de confi anza de 95% es
 ŷ � ta/2 �
__________________
 MSE
 1 __ n � (x0 � x� )2 ________ Sxx � 
79.06 � 2.306 �
______________________
 75.7532
� 1 ___ 10 � (0 � 46)
2
 ________ 
2474
 �
 40.784 � 19.617
o de 21.167 a 60.401, un intervalo que no contiene el valor a � 0. En consecuencia, es 
improbable que el cruce con el eje y sea 0. Se debe incluir un punto de cruce diferente de 
cero en el modelo y � a � bx � e.
Para esta situación especial en la que estamos interesados en probar o estimar el punto 
de cruce a con el eje y para la recta de medias, las inferencias comprenden la estimación 
muestral a. La prueba para un punto de cruce en 0 se da en la fi gura 12.14 en la recta 
sombreada marcada como “Constante”. El coefi ciente dado como 40.784 es a, con error 
estándar dado en la columna marcada “SE Coef ” como 8.507, que concuerda con el 
valor calculado en el ejemplo 12.6. El valor de t � 4.79 se encuentra al dividir a entres 
su error estándar con valor p � .001.
E J E M P L O 12.6
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 40.784 8.507 4.79 0.001
x 0.7656 0.1750 4.38 0.002
FIGURA 12.14
Parte de la salida impresa 
MINITAB para el ejemplo 
12.6
●
FIGURA 12.15
Opción MINITAB para 
estimación y predicción
●
Predicted Values for New Observations
New Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI
1 79.06 2.84 (72.51, 85.61) (57.95, 100.17)
Values of Predictors for New Observations
New Obs x
1 50.0
Se puede ver que es bastante lento calcular manualmente estos intervalos de predic-
ción y estimación, además de que es difícil mantener precisión en los cálculos, pero por 
fortuna hay programas de cómputo que pueden hacer los cálculos. El comando de regre-
sión MINITAB tiene una opción para estimación o predicción cuando se especifi ca el valor 
necesario de x. La salida impresa de la fi gura 12.15 da los valores de ŷ � 79.06 marcados 
“Fit”, el error estándar de ŷ, SE( ŷ), marcado “SE Fit”, el intervalo de confi anza para el 
valor promedio de y cuando x � 50, marcado “95.0% CI”, y el intervalo de predicción 
para y cuando x � 50, marcado “95.0% PI”.
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 12.7 ESTIMACIÓN Y PREDICCIÓN USANDO LA RECTA AJUSTADA ❍ 531
Las bandas de confi anza y bandas de predicción generadas por MINITAB para los datos 
de califi caciones en cálculo se muestran en la fi gura 12.16. Observe que en general las 
bandas de confi anza son más angostas que las bandas de predicción para todo valor de 
puntos x de examen de aprovechamiento. Es seguro que usted esperaría predicciones 
de que un valor individual fuera mucho más variable que las estimaciones del valor 
promedio. También observe que las bandas parecen hacerse más anchas a medida que 
el valor de x0 se aleja de la media x�. Esto es porque los errores estándar empleados en 
los intervalos de confi anza y predicción contienen el término (x0 � x�)
2, que se hace más 
grande cuando los dos valores divergen. En la práctica, esto signifi ca que estimación 
y predicción son más precisos cuando x0 está cerca del centro del rango de los valores 
de x. Se pueden localizar los intervalos calculados de confi anza y predicción cuando 
x � 50 en la fi gura 12.16.
FIGURA 12.16
Intervalos de confi anza y 
predicción para los datos 
de la tabla 12.1
●
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
 20 30 40 50 60 70 80
Puntos
Regression
95% CI
95% PI
S 8.70363
R-Sq 70.5%
R-Sq(adj) 66.8%
Gráfica de recta ajustada
y � 40.78 � 0.7656 x
C
al
if
ic
ac
ió
n
TÉCNICAS BÁSICAS
12.36 Consulte el ejercicio 12.6.
a. Estime el valor promedio de y cuando x � 1, usando 
un intervalo de confi anza de 90%.
b. Encuentre un intervalo de confi anza de 90% para 
algún valor de y a ser observado en el futuro cuando 
x � 1.
12.37 Consulte el ejercicio 12.7. Partes de la salida 
impresa MINITAB se muestran a continuación. 
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 12.37
Análisis de regresión: y versus x
The regression equation is
y = 6.00 - 0.557 x
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 6.0000 0.1759 34.10 0.000
x -0.55714 0.04518 -12.33 0.000
Predicted Values for New Observations
New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI
1 4.8857 0.1027 (4.6006, 5.1708) (4.2886, 5.4829)
2 1.5429 0.2174 (0.9392, 2.1466) (0.7430, 2.3427) X
X denotes a point that is an outlier in the predictors.
Values of Predictors for New Observations
New Obs x
1 2.00
2 8.00
 EJERCICIOS12.7
a. Encuentre un intervalo de confi anza para el valor 
promedio de y cuando x � 2.
b. Encuentre un intervalo de predicciónde 95% para 
algún valor de y a ser observado en el futuro cuando 
x � 2.
c. El último renglón de la tercera sección de la salida 
impresa indica un problema con uno de los valores 
ajustados. ¿Qué valor de x corresponde al valor 
ajustado ŷ � 1.5429? ¿Qué problema ha detectado el 
programa MINITAB?
APLICACIONES
12.38 ¿Qué comprar? Se realizó un 
experimento de investigación de mercado, 
para estudiar la relación entre el tiempo necesario para 
que un comprador llegue a una decisión y el número de 
presentaciones alternativas de un producto. Se eliminaron 
nombres de marca en paquetes para reducir los efectos 
de preferencias de marcas. Los compradores hicieron 
su selección usando las descripciones del producto, 
hechas por los fabricantes en los paquetes, como únicas 
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	12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
	12.7 Estimación y predicción usando la recta ajustada
	Ejercicios