introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-188

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538 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
12.48 Nos dan estos datos:
x 1 2 3 4 5 6
y 7 5 5 3 2 0
a. Grafi que los seis puntos en papel para grafi car.
b. Calcule el coefi ciente muestral de correlación r e 
interprete.
c. ¿En qué porcentaje se redujo la suma de cuadrados 
de desviaciones al usar el pronosticador de 
mínimos cuadrados ŷ � a � bx, en lugar de y� como 
pronosticador de y?
12.49 Invierta la pendiente de la recta del ejercicio 
12.48 al reordenar las observaciones y, como sigue:
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 3 5 5 7
Repita los pasos del ejercicio 12.48. Observe el cambio 
en el signo de r y la relación entre los valores de r2 del 
ejercicio 12.48 y este ejercicio.
APLICACIONES
12.50 Langostas La tabla siguiente da los 
números de lapas Octolasmis tridens y O. lowei 
en cada una de 10 langostas.9 ¿Le parece que las lapas 
compiten por espacio en la superfi cie de una langosta?
Número de campo
de langosta O. tridens O. lowei
 AO61 645 6
 AO62 320 23
 AO66 401 40
 AO70 364 9
 AO67 327 24
 AO69 73 5
 AO64 20 86
 AO68 221 0
 AO65 3 109
 AO63 5 350
a. Si compiten, ¿se espera que el número x de 
lapas O. tridens y el número y de O. lowei estén 
correlacionados positiva o negativamente? Explique.
b. Si desea probar la teoría de que dos tipos de lapas 
compiten por espacio al realizar una prueba de 
la hipótesis nula “el coefi ciente de correlación 
poblacional r es igual a 0”, ¿cuál es su hipótesis 
alternativa?
c. Realice la prueba del inciso b) y exprese sus 
conclusiones.
12.51 Capacitación de habilidades 
sociales Se puso en práctica un programa de 
capacitación de habilidades sociales con siete estudiantes, 
a un grado de difi cultad mediano, en un estudio para 
determinar si el programa causó mejora en medidas antes 
y después del estudio y en califi caciones de conducta. 
Para uno de estos exámenes, los puntos de antes y 
después del examen para los siete estudiantes se dan en 
la tabla siguiente.10
Persona Antes Después
Earl 101 113
Ned 89 89
Jasper 112 121
Charlie 105 99
Tom 90 104
Susie 91 94
Lori 89 99
a. ¿Qué tipo de correlación, si la hay, espera usted ver 
entre puntos antes y después del examen? Grafi que los 
datos. ¿La correlación parece ser positiva o negativa?
b. Calcule el coefi ciente de correlación, r. ¿Hay una 
correlación positiva signifi cativa?
12.52 Hockey G. W. Marino investigó las variables 
relacionadas con la capacidad de un jugador de hockey 
para hacer un rápido arranque desde una posición de 
reposo.11 En el experimento, cada patinador arrancó 
desde una posición de reposo y trató de moverse tan 
rápidamente como le fuera posible en una distancia de 
6 metros. El coefi ciente de correlación r entre la rapidez 
de zancada de un patinador (número de zancadas por 
segundo) y el tiempo para recorrer la distancia de 6 
metros para la muestra de 69 patinadores, fue �.37.
a. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar una 
correlación entre rapidez de zancadas y tiempo para 
recorrer la distancia? Pruebe usando a � .05.
b. Encuentre el valor p aproximado para la prueba.
c. ¿Cuáles son las implicaciones prácticas de la prueba 
en el inciso a)?
12.53 Hockey II Consulte el ejercicio 12.52. Marino 
calculó que el coefi ciente de correlación muestral r, 
para la rapidez de zancadas y el promedio de rapidez 
de aceleración para los 69 patinadores, era de .36. 
¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar una 
correlación entre rapidez de zancadas y promedio de 
aceleración para los patinadores? Use el método del 
valor p.
12.54 Energía geotérmica La energía 
geotérmica es una importante fuente de energía. 
Como la cantidad de energía contenida en 1 libra de agua 
es función de su temperatura, uno podría preguntarse 
si el agua obtenida de pozos más profundos contiene 
más energía por libra. Los datos de la tabla siguiente se 
DATOSMISMIS
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DATOSMISMIS
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 12.8 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN ❍ 539
DATOSMISMIS
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reproducen de un artículo sobre sistemas geotérmicos 
escrito por A. J. Ellis.12
 Profundidad
 promedio (máx) Temperatura
Ubicación de pozo de perforación promedio (máx)
El Tateo, Chile 650 230
Ahuachapan, El Salvador 1000 230
Namafjall, Islandia 1000 250
Larderello (region), Italia 600 200
Matsukawa, Japón 1000 220
Cerro Prieto, México 800 300
Wairakei, Nueva Zelanda 800 230
Kizildere, Turquía 700 190
The Geysers, Estados Unidos 1500 250
¿Hay una correlación positiva signifi cativa entre 
la profundidad promedio (max) de perforación 
y la temperatura promedio (max)?
12.55 Queso, por favor La demanda de alimentos 
saludables, bajos en grasas y calorías, ha resultado en 
un gran número de productos “bajo en grasas” o “sin 
grasa”. La tabla siguiente muestra el número de calorías 
y la cantidad de sodio (en miligramos) por rebanada para 
cinco marcas de queso americano sin grasa.
Marca Sodio (mg) Calorías
Kraft Fat Free Singles 300 30
Ralphs Fat Free Singles 300 30
Borden® Fat Free 320 30
Healthy Choice® Fat Free 290 30
Smart Beat® American 180 25
a. ¿Deben usarse métodos de análisis de regresión lineal 
o análisis de correlación para analizar los datos? 
Explique.
b. Analice los datos para determinar la naturaleza de la 
relación entre sodio y calorías en queso americano sin 
grasa. Use cualesquiera pruebas estadísticas que sean 
más apropiadas.
12.56 Temperatura corporal y frecuencia 
cardiaca ¿Hay alguna relación entre estas 
dos variables? Para averiguarlo, al azar seleccionamos 
12 personas de un conjunto de datos construido por 
Allen Shoemaker (Journal of Statistics Education) y 
registramos sus temperaturas corporales y frecuencias 
cardiacas.13
Persona 1 2 3 4 5 6
Temperatura 96.3 97.4 98.9 99.0 99.0 96.8
 (grados)
Frecuencia cardiaca 70 68 80 75 79 75
 (pulsaciones por minuto)
Persona 7 8 9 10 11 12
Temperatura 98.4 98.4 98.8 98.8 99.2 99.3
 (grados)
Frecuencia cardiaca 74 84 73 84 66 68
 (pulsaciones por minuto)
a. Encuentre el coefi ciente de correlación r, que 
relacione temperatura corporal y frecuencia cardiaca.
b. ¿Hay sufi ciente evidencia para indicar que hay 
correlación entre estas dos variables? Pruebe al nivel 
de signifi cancia de 5%.
12.57 Estadísticas en béisbol ¿El 
promedio de bateo de un equipo depende en 
alguna forma del número de cuadrangulares conectados 
por el equipo? Los datos de la tabla siguiente muestran 
el número de cuadrangulares del equipo y el promedio 
general de bateo del equipo para ocho equipos de ligas 
mayores seleccionados para la temporada de 2006.14
Equipo Total cuadrangulares Promedio de bateo del equipo
Atlanta Braves 222 .270
Baltimore Orioles 164 .227
Boston Red Sox 192 .269
Chicago White Sox 236 .280
Houston Astros 174 .255
Philadelphia Phillies 216 .267
New York Giants 163 .259
Seattle Mariners 172 .272
Fuente: ESPN.com
a. Grafi que los puntos usando una gráfi ca de dispersión. 
¿Le parece que hay alguna relación entre el total de 
cuadrangulares y el promedio de bateo del equipo?
b. ¿Hay alguna correlación positiva signifi cativa entre 
el total de cuadrangulares y el promedio de bateo del 
equipo? Pruebe al nivel de signifi cancia de 5%.
c. ¿Piensa usted que la relación entre estas dos variables 
sería diferente si hubiéramos visto todo el conjunto de 
franquicias de las ligas mayores?
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540 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
Conceptos y fórmulas clave
I. Un modelo probabilista lineal
1. Cuando los datos exhiben una relación lineal, el 
modelo apropiado es y � a � bx � e.
2. El error aleatorio e tiene una distribución normal 
con media de 0 y varianza s2.
II. Método de mínimos cuadrados
1. Las estimaciones a y b, para a y b, se escogenpara reducir SSE al mínimo, la suma del cuadrado 
de desviaciones alrededor de la recta de regresión, 
ŷ � a � bx.
2. Las estimaciones de mínimos cuadrados son b � 
Sxy/Sxx y a � y� � bx�.
III. Análisis de varianza
1. SS Total � SSR � SSE, donde SS Total � Syy 
y SSR � (Sxy)
2/Sxx.
2. La mejor estimación de s2 es MSE � 
SSE/(n � 2).
IV. Prueba, estimación y predicción
1. Una prueba para la signifi cancia de la regresión 
lineal, H0 : b � 0, se puede implementar usando 
una de dos estadísticas de prueba: 
t � �
______
 b _______ 
MSE/Sxx
 o F � MSR _____ MSE 
2. La fuerza de la relación entre x y y se puede medir 
usando
r2 � SSR _______ 
SS Total
 
 que se acerca a 1 cuando la relación se hace más 
fuerte.
3. Use gráfi cas de residuales para comprobar la 
no normalidad, desigualdad de varianzas, o un 
modelo incorrectamente ajustado.
4. Los intervalos de confi anza se pueden construir 
para estimar el punto de intersección a y la pen-
diente b de la recta de regresión, así como estimar 
el valor promedio de y, E(y), para un valor deter-
minado de x.
5. Se pueden construir intervalos de predicción 
para predecir una observación particular, y, para 
un valor determinado de x. Para una x dada, los 
intervalos de predicción siempre son más anchos 
que los intervalos de confi anza.
V. Análisis de correlación
1. Use el coefi ciente de correlación para medir la 
relación entre x y y cuando ambas variables son 
aleatorias:
r � 
Sxy _______ 
 �
____
 SxxSyy 
 
2. El signo de r indica la dirección de la relación; 
r cerca de 0 indica que no hay relación lineal, y r 
cerca de 1 o �1 indica una fuerte relación lineal.
3. Una prueba de la signifi cancia del coefi ciente de 
correlación usa la estadística
t � r �
______
 n � 2 ______ 
1 � r2
 
 y es idéntica a la prueba de la pendiente b.
REPASO DEL CAPÍTULO
MINITABMIMI
Procedimientos de regresión lineal
En el capítulo 3 usamos algunos de los procedimientos de regresión lineal disponibles 
en MINITAB, para obtener una gráfi ca de la recta de regresión de mínimos cuadrados de 
mejor ajuste, así como para calcular el coefi ciente de correlación r para un conjunto 
de datos bivariados. Ahora que ya hemos estudiado las técnicas de prueba y estimación 
para un análisis de regresión lineal sencillo, existen más opciones MINITAB para usted.
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	12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
	Repaso del capítulo