introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-220

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634 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
Las hipótesis a probar son
H0 : Las distribuciones de las frecuencias de aleteo son las mismas para las dos 
especies
contra
Ha : Las distribuciones de las frecuencias de aleteo difi eren para las dos especies
Como el tamaño muestral para individuos de la especie 1, n1 � 4, es el más pequeño de 
los dos tamaños muestrales, tenemos
T1 � 7 � 8 � 9 � 10 � 34
y
T *1 � n1(n1 � n2 � 1) � T1 � 4(4 � 6 � 1) � 34 � 10
Para una prueba de dos colas, el estadístico de prueba es T � 10, la menor de T1 � 34 
y T *1 � 10.
Para esta prueba de dos colas con a � .05, el experimentador puede usar la tabla 
7b) del apéndice I con n1 � 4 y n2 � 6. El valor crítico de T tal que P(T � a) � 
a/2 � .025 es 12, y se debe rechazar la hipótesis nula si el valor observado de T es 12 
o menos. Como el valor observado del estadístico de prueba, T � 10, es menor a 12, se 
puede rechazar la hipótesis de iguales distribuciones de frecuencias de aleteo al nivel de 
significancia de 5%.
Una salida impresa MINITAB de la prueba de suma de rango de Wilcoxon (llamada 
Mann-Whitney por MINITAB) para estos datos se da en la figura 15.1. Al final de este 
capítulo se encuentran instrucciones para generar esta salida impresa en la sección “Mi 
MINITAB ” al final de este capítulo. Observe que la suma de rango de la primera muestra 
se da como W � 34.0, que concuerda con nuestros cálculos. Con un valor p reportado de 
.0142 calculado por MINITAB, se puede rechazar la hipótesis nula al nivel de 5%.
Aproximación normal a la prueba 
de suma de rango de Wilcoxon
La tabla 7 del apéndice I contiene valores críticos para tamaños muestrales de n1 � 
n2 � 3, 4, …, 15. Siempre que n1 no sea demasiado pequeña,
† las aproximaciones a las 
probabilidades para el estadístico T de la suma de rango de Wilcoxon se pueden hallar 
usando una aproximación normal a la distribución de T. Se puede demostrar que la 
media y varianza de T son
mT � 
n1(n1 �
2
 n2 � 1) y s 2T � 
n1n2(n1 
1
�
2
 n2 � 1)
†
 Algunos investigadores indican que la aproximación normal es adecuada para muestras de hasta sólo n1 � n2 � 4.
FIGURA 15.1
Salida impresa para el 
ejemplo 15.1
● Prueba Mann-Whitney y CI: especie 1, especie 2
 
 N Median
Species 1 4 207.50
Species 2 6 180.00
Point estimate for ETA1-ETA2 is 30.50
95.7 Percent CI for ETA1-ETA2 is (5.99,56.01)
W = 34.0
Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2 is significant at 0.0142
The test is significant at 0.0139 (adjusted for ties)
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La distribución de
z � 
T �
sT
 mT
es aproximadamente normal con media 0 y desviación estándar 1 para valores de n1 y 
n2 de sólo 10.
Si se intenta esta aproximación para el ejemplo 15.1, se obtiene
mT � 
n1(n1 �
2
 n2 � 1) � 
4(4 � 
2
6 � 1)
 � 22
y
s 2T � 
n1n2(n1 
1
�
2
 n2 � 1) � 
4(6)(4 �
12
 6 � 1)
 � 22
El valor p para esta prueba es 2P(T � 34). Si se usa una corrección de .5 para continui-
dad al calcular el valor de z porque n1 y n2 son pequeñas,
† tenemos
z � 
T �
sT
 mT � 
(34 �
�
 .5
2
)
2 
 � 22
 � 2.45
El valor p para esta prueba es
2P(T � 34) � 2P(z � 2.45) � 2(.0071) � .0142
el valor informado de la salida impresa MINITAB de la figura 15.1.
PRUEBA DE LA SUMA DE RANGO DE WILCOXON 
PARA MUESTRAS GRANDES: n1 W 10 Y n2 W 10
1. Hipótesis nula: H0 : Las distribuciones de población son idénticas
2. Hipótesis alternativa: Ha : Las dos distribuciones poblacionales no son idénticas 
(una prueba de dos colas); o Ha : La distribución de la población 1 se corre a la 
derecha (o a la izquierda) de la distribución de la población 2 (una prueba de una 
cola).
3. Estadístico de prueba: z � 
T � n1(n1 � n2 � 1)/2 ___________________ 
 �
__________________
 n1 n2(n1 � n2 � 1)/12 
 
4. Región de rechazo:
a. Para una prueba de dos colas, rechace H0 si z � za/2 o z � �za/2.
b. Para una prueba de una cola en la cola derecha, rechace H0 si z � za.
c. Para una prueba de una cola en la cola izquierda, rechace H0 si z � �za.
O rechace H0 si el valor p es � a.
Los valores tabulados de z se encuentran en la tabla 3 del apéndice I.
Se realizó un experimento para comparar las resistencias de dos tipos de papel de estraza: 
un papel de estraza estándar de un peso especifi cado y otro es el mismo papel tratado con 
una sustancia química. Diez piezas de cada tipo de papel, seleccionadas al azar de entre 
la producción, produjeron las mediciones de resistencia que se muestran en la tabla 15.5. 
Pruebe la hipótesis nula de no diferencia en las distribuciones de resistencias para los 
†
 Como el valor de T � 34 está a la derecha de la media 22, la resta de .5 al usar la aproximación normal toma en 
cuenta el límite inferior de la barra arriba del valor 34 en la distribución de probabilidad de T.
E J E M P L O 15.2
 15.2 LA PRUEBA DE SUMA DE RANGO DE WILCOXON: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 635
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636 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
dos tipos de papel contra la hipótesis alternativa de que el papel tratado tiende a ser más 
fuerte (es decir, su distribución de mediciones de resistencia se corre a la derecha de la 
distribución correspondiente para el papel no tratado).
 Mediciones de resistencia (y sus rangos) 
TABLA 15.5 
●
 para dos tipos de papel
Estándar 1 Tratado 2
1.21 (2) 1.49 (15)
1.43 (12) 1.37 (7.5)
1.35 (6) 1.67 (20)
1.51 (17) 1.50 (16)
1.39 (9) 1.31 (5)
1.17 (1) 1.29 (3.5)
1.48 (14) 1.52 (18)
1.42 (11) 1.37 (7.5)
1.29 (3.5) 1.44 (13)
1.40 (10) 1.53 (19)
Suma de rango T1 � 85.5
 T *1 � n1(n1 � n2 � 1) � T1 � 210 � 85.5 � 124.5
Solución Como los tamaños muestrales son iguales, estamos en libertad de decidir 
cuál de las dos muestras debe ser la muestra 1. Si se escoge el tratamiento estándar como 
la primera muestra, se pueden clasificar 20 mediciones de resistencia y los valores de 
T1 y T
*
1 se ven en la parte inferior de la tabla. Como se desea detectar un corrimiento en 
las mediciones estándar (1) a la izquierda de las mediciones tratadas (2), se realiza una 
prueba de cola izquierda:
H0 : No hay diferencia en las distribuciones de resistencia
Ha : La distribución estándar se encuentra a la izquierda de la distribución tratada
y se usa T � T1 como el estadístico de prueba, buscando un valor inusualmente pequeño 
de T.
Para hallar el valor crítico para una prueba de una cola con a � .05, indicemos de la 
tabla 7a) del apéndice I con n1 � n2 � 10. Usando la entrada de la tabla, se puede recha-
zar H0 cuando T � 82. Como el valor observado del estadístico de prueba es T � 85.5, 
no se puede rechazar H0. Hay suficiente evidencia para concluir que el papel de estraza 
tratado es más fuerte que el papel estándar.
Para usar la aproximación normal a la distribución de T, se puede calcular
mT � 
n1(n1 �
2
 n2 � 1) � 
10(
2
21)
 � 105
y
s 2T � 
n1n2(n1 
1
�
2
 n2 � 1) � 
10(1
1
0
2
)(21)
 � 175
con sT � �
____
 175 � 13.23. Entonces
z � 
T �
sT
 mT � 
85.
1
5
3
 �
.2
 
3
105
 � �1.47
El valor p de una cola correspondiente a z � �1.47 es
valor p � P(z � �1.47) � .5 � .4292 � .0708
que es mayor que a � .05. La conclusión es la misma. No se puede concluir que el papel 
de estraza tratado sea más fuerte que el papel estándar.
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	15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
	15.2 La prueba de suma de rango de Wilcoxon: muestras aleatorias independientes
	Aproximación normal a la prueba de suma de rango de Wilcoxon