Problemario_ProbEstadistica-4

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Problema 9._ La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad 
particular es 0.7. Dado que el Dr. Hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente 
presente una demanda es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el Dr. haga un diagnóstico incorrecto y el 
paciente lo demande? 
 
Solución 
 
Sean los eventos I: Diagnóstico incorrecto. 
'I : Diagnóstico correcto. 
D: El paciente demanda al doctor. 
 
Los datos que tenemos en términos de probabilidades son: 
 
7.0)'( =IP 3.0)( =∴ IP 
( ) 9.0=IDP 
 
Usando la Regla de la multiplicación se encuentra la probabilidad deseada. 
 
( ) 27.0)9.0(3.0)()( === IDPIPIDP 
 
 
Problema 10._ Se dio a una nueva secretaria n contraseñas para la computadora, pero solamente una 
de ellas dará acceso a un archivo. La secretaria no sabe cuál es la contraseña correcta y por tanto, 
escoge una al azar y la prueba. Si la contraseña es incorrecta, la quita y selecciona aleatoriamente otra 
de las que quedan, continuando de esta manera hasta encontrar la contraseña correcta. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga la contraseña correcta en el primer intento? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga la contraseña correcta en el segundo intento? y ¿en el 
tercero? 
c) Se estableció un sistema de seguridad de tal manera que si se intentan 3 contraseñas incorrectas antes 
de encontrar la buena se cierra el archivo y se niega el acceso. Si 7=n ¿Cuál es la probabilidad de que 
la secretaria tenga acceso al archivo? 
 
Solución 
 
Sea el evento Ci: contraseña correcta al intento i. 
a) Sólo una contraseña es correcta de un total de n contraseñas disponibles, es decir ( )
n
CP
1
1 = 
 
b) El evento contraseña correcta al intento dos, es en realidad la intersección de los eventos 
contraseña incorrecta al intento uno y contraseña correcta al intento dos. Usando la Regla de la 
multiplicación y el hecho de que sólo una contraseña es la correcta la probabilidad de que la primera 
contraseña sea incorrecta es el cociente entre el número de contraseñas incorrectas )1( −n y el número 
de contraseñas en total )(n y la probabilidad de que la segunda contraseña sea correcta dado que la 
primera fue incorrecta es el cociente del número de contraseñas correctas (1) entre el número total de 
contraseñas que se ha reducido en una ya que la primera se deja fuera, es decir: 
 
( )
nnn
n
CCPCPCCPCP
1
1
11
121212 =





−
−=



 ′



 ′=



 ′= 
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De manera semejante el evento contraseña correcta al intento tres es la intersección de los eventos 
contraseña incorrecta al intento uno, contraseña incorrecta al intento dos y contraseña correcta al 
intento tres. Usando la Regla de la multiplicación y el hecho de que una vez que se ha probado una 
contraseña incorrecta esta es desechada se tiene que: 
 
( )
nnn
n
n
n
CCCPCCPCPCCCPCP
1
2
1
1
21
2131213213 =





−






−
−−=



 ′′




 ′′



 ′=



 ′′= 
 
c) La secretaria tendrá acceso al archivo si logra encontrar la contraseña correcta en cualquiera de los 
tres primeros intentos y como son eventos disjuntos la probabilidad de la unión de los eventos 
( )321 CCC ∪∪ es la suma de las probabilidades individuales. Usando 7=n se tiene que la probabilidad 
de que la secretaria tenga acceso al archivo es: 
 
( ) ( ) ( )
7
3
)()acceso( 321321 =++=∪∪= CPCPCPCCCPP 
 
 
Problema 11._ La urna 1 contiene x esferas blancas y y rojas. La urna 2 contiene z blancas y v rojas. Se 
escoge una esfera al azar de la urna 1 y se pone en la urna 2. Entonces se escoge una esfera al azar de la 
urna 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esta esfera sea blanca? 
 
Solución 
 
Sean los eventos :ib bola blanca de la urna i con i = 1, 2. 
:ir bola roja de la urna i con i = 1, 2. 
 
La bola que se extrae de la urna 2 puede ser blanca bajo dos situaciones diferentes y excluyentes; la 
bola que se extrae de la urna 1 es blanca y la bola que se extrae de la urna 2 también es blanca o la bola 
que se extrae de la urna 1 es roja y la bola que se extrae de la urna 2 es blanca. Usando el hecho de que 
la probabilidad de unión de eventos disjuntos es la suma de las probabilidades individuales y la Regla 
de la multiplicación se tienen que la probabilidad de interés está dada por: 
 
( ) ( )21212 brbbPbP ∪= 
 
( ) ( )2121 brPbbP += 
 
( ) ( ) ( ) ( )121121 rbPrPbbPbP += 
 






+++
+





++
+
+
=
11
1
vz
z
yx
y
vz
z
yx
x
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 12._ Un prisionero político será enviado a Siberia o a los Urales. Las probabilidades de que 
lo envíen a estos dos lugares son 0.6 y 0.4 respectivamente. Se sabe además que si un residente de 
Siberia se elige al azar hay una probabilidad de 0.5 de que lleve un abrigo de piel, en tanto que la 
probabilidad para lo mismo es de 0.7 en los Urales. Al llegar al exilio, la primera persona que ve el 
prisionero no lleva un abrigo de piel ¿Cuál es la probabilidad de que esté en Siberia? 
 
Solución 
 
Sean los eventos S: El prisionero está en Siberia. 
U: El prisionero está en los Urales. 
A: Una persona cualquiera usa abrigo. 
 
Los datos que tenemos son: 
 
( ) 5.06.0)( == SAPSP
 
( ) 5.0' =∴ SAP 
( ) 7.04.0)( == UAPUP
 
( ) 3.0' =∴ UAP
 
Usando el Teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de interés se tiene que: 
 
 
( ) ( )( )'
'
'
AP
SAP
ASP =
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )UAPUPSAPSP
SAPSP
''
'
+
= 
 
 714.0
)3.0(4.0)5.0(6.0
)5.0(6.0 =
+
=
 
 
 
Problema 13._ Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La 
probabilidad de que un carro específico esté disponible cuando se le necesite es 0.96. ¿Cuál es la 
probabilidad de que: 
a) ninguno esté disponible cuando se le necesite? 
b) un carro de bomberos esté disponible cuando se le necesite? 
 
Solución 
 
Sea el evento .2 ,1con disponible carro: =iid i 
Se sabe que ( ) 96.0=idP y que hay independencia entre la operación de los carros de bomberos. 
Recordemos que si dos eventos son independientes también lo son sus complementos. 
 
a) .0016.0)04.0( 22121 ==


 ′



 ′=



 ′′ dPdPddP 
 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 dPdPdPdPddP −+=∪ 
 2)96.0()96.0(2 −= 
 .9984.0=