09 Tarea Geometria 5 año

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Triángulos: propiedades 
fundamentales y auxiliares
NIVEL BÁSICO
1. Calcule α + β. 
 UNMSM 2013-I
A
C
D
E B
20°
β
α
150°70°
a) 70° b) 90° c) 80°
d) 60° e) 100°
2. Calcule el mínimo valor entero que puede tomar 
un lado de un triángulo obtusángulo, cuyos lados 
menores miden 7m y 3 m.
a) 5 m b) 4 m c) 3 m 
d) 6 m e) 3 m
NIVEL INTERMEDIO
3. Calcular θ, si MP = NP.
A C
N
B
P
M
α
2θ
2βθ
2α
β
a) 15° b) 20° c) 25° 
d) 35° e) 40°
4. Los lados de un triángulo están en progresión 
aritmética de razón 5 cm, calcule el mínimo valor 
entero que toma el perímetro de dicho triángulo.
a) 29 cm b) 30 cm c) 31 cm 
d) 32 cm e) 33 cm
5. Dos ángulos internos de un triángulo están en re-
lación de 1 a 2, calcule el mínimo valor entero que 
puede tomar el menor ángulo para que el triángu-
lo sea acutángulo.
a) 30° b) 31° c) 32° 
d) 33° e) 34°
6. Calcular α, si: AE = ED = BD = BC.
A E
D
B
C
α
a) 53° b) 20° c) 37° 
d) 22,5° e) 18,5°
7. Si DC = BC, calcula x. 
 UNMSM 2016 I
A
E
B
CD
x
15°30°
a) 45° b) 15° c) 20° 
d) 25° e) 30°
8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
trazan la altura BH y la bisectriz BD del ángulo 
ABH, calcule BC, si AD = 2 m y AC = 10 m.
a) 2 m b) 12 m c) 10 m 
d) 8 m e) 4 m
Tarea
1 15.° Año - I BImestre GEOMETRÍA
1
COLEGIOS
NIVEL AVANZADO
9. En la figura calcular α + β + θ + ω, si 
m<MEN = 96°.
A
B C
E
M N D
α
β θ
ω
a) 84° b) 192° c) 278° 
d) 276° e) 360°
10. Calcular x.
x
α
α
α
α
α
a) 72° b) 144° c) 108° 
d) 118° e) 120°
Claves
01. d
02. a
03. b
04. c
05. b
06. d
07. e
08. d
09. d
10. c
TRIÁNGULOS: PROPIEDADES 
FUNDAMENTALES Y AUXILIARES
COLEGIOS
2 5.° Año - I BImestreGEOMETRÍA1
Líneas y puntos notables 
asociados a un triángulo
NIVEL BÁSICO
1. El punto que equidista a los lados del triángulo se 
llama:
a) Excentro 
b) Baricentro 
c) Incentro 
d) Ortocentro 
e) Circuncentro
2. Calcule AC, si G es punto medio de BM y M es 
punto medio de AC, además FG = 4,5 m.
A F M C
B
G
a) 9 m b) 15 m c) 16 m
d) 18 m e) 20 m
NIVEL INTERMEDIO
3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son ver-
daderas?
I. El incentro de un triángulo es el centro de la 
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
II. El ortocentro de un triángulo rectángulo se 
ubica en el punto medio del lado opuesto al 
ángulo recto.
III. En un triángulo isósceles, el baricentro y or-
tocentro son colineales.
a) Solo I 
b) Solo II
c) Solo II y III 
d) Solo I y III
e) Solo III
4. Si I es el incentro del triángulo ABC, calcule 
m<AIC.
A C
I
30°
B
a) 75° b) 120° c) 105°
d) 150° e) 90°
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, si 
m<C = 37°/2 y BC = 30cm, calcule la distancia del 
baricentro G al vértice C.
a) 2 91 cm b) 15 5cm 
c) 10 15 cm d) 10
3
37 cm
e) 30 cm
6. La imagen muestra que la gasolinera (I) está en el 
incentro del triángulo ABC, si la m<AIC = 3x y la 
m<B = 2x, calcular x.
a) 45° b) 30° c) 37° 
d) 22,5° e) 18,5°
Tarea
3 25.° Año - I BImestre GEOMETRÌA
2
COLEGIOS
7. En un triángulo acutángulo isósceles ABC, de 
base AC, O es el ortocentro e I es el incentro de 
dicho triángulo, si la m<ABC = α, I pertenece a 
BO, calcule la m<IAO.
a) 90° – 3α
2
 b) α
2
 
c) 3α
4
 d) 45° – 3α
4
e) 90° – 3α
4
NIVEL AVANZADO
8 Si G es el baricentro del triángulo BHC, si HG = 
4cm, calcule AC.
 A H C
G
2α
B
α
a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cm 
d) 12 cm e) 14 cm
9. En un triángulo obtusángulo ABC, O es el orto-
centro, calcule la m<AOC, si m<B = 135°.
a) 120° b) 145° c) 50°
d) 45° e) 60°
10. Calcule la medida de la longitud de la hipotenusa 
de un triángulo, cuya distancia de su ortocentro 
al baricentro mide 10 cm.
a) 20 cm b) 25 cm c) 30 cm 
d) 35 cm e) 40 cm
Claves
01. c
02. d
03. e
04. c
05. d
06. a
07. d
08. d
09. d
10. c
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES 
ASOCIADOS A UN TRIANGULO
COLEGIOS
4 5.° Año - I BImestreGEOMETRÍA2
Líneas y puntos notables asociados a un 
triángulo - Triángulos rectángulos notables, 
aproximados y pitagóricos
NIVEL BÁSICO
1. Se tiene un triángulo ABC, si m<A = 60°, AB = 
2cm y AC = 5cm, calcule BC. 
 TALENTO PUCP 2016-II
a) 21cm b) 17cm c) 19cm 
d) 2 5cm e) 5 cm
2. Calcule la medida del ángulo OAC de un triángu-
lo ABC, si m<ABC = 80° y O es circuncentro de 
dicho triángulo. 
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
NIVEL INTERMEDIO
3. Si F y E son los incentros de los triángulos GEC y 
GDC, respectivamente, calcule la m<GFC.
A
B
40°
D
G E
F
C
4β
β
α
θ
θ
a) 150° b) 140° c) 80° 
d) 120° e) 130°
4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, una 
recta que pasa por B y es exterior al triángulo cor-
ta a las bisectrices exteriores de A y C en M y N, 
respectivamente. Si m<BNC=60°, calcule la me-
dida del menor ángulo que forma la recta trazada 
y AM.
a) 80° b) 60° c) 45° 
d) 75° e) 55°
5. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC y la 
m<ABC = 40°. Si H, O e I son el ortocentro, cir-
cuncentro e incentro del triángulo ABC, respecti-
vamente, calcula:
 m<AHC + m<AOC – 2(m<AIC)
a) 30° b) 20° c) 12° 
d) 10° e) 0°
6. Calcular EF. 
 POP PUCP 2018
C
B
20u
DA
7u
E
F 25u
a) 4 u b) 5,98 u c) 6,25 u
d) 7,5 u e) 7,25 u
 
7. Calcule DC ⁄ BD. 
 UNMSM 2012-I
a) 3 
2
b) 6 
3
c) 3 
3
d) 6 
2
 
A
B C
D
30°
45°
e) 2 
2
 
8. Una persona parte del punto A y se dirige a la 
posición B mostrada, que dista 40 km de A. Lue-
go cambia su rumbo, se dirige hacia el suroeste 
y recorre 40 2 km. Finalmente, se dirige 72 km 
hacia el oeste y 26 km hacia el sur, donde sufre 
un accidente. ¿A qué distancia aproximada de su 
punto de partida la persona sufre el accidente?
Tarea
5 35.° Año - I BImestre GEOMETRÍA
3
COLEGIOS
Norte
Este
53°
Oeste
Sur
A
B
a) 180 km b) 160 km c) 152 km 
d) 150 km e) 140 km
9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son ver-
daderas?
I. En todo triángulo isósceles, la altura relativa 
a uno de los lados congruentes contienen al 
circuncentro, baricentro e incentro.
II. En todo triángulo rectángulo, la distancia del 
baricentro al ortocentro mide la tercera parte 
de la longitud de la hipotenusa.
III. En todo triángulo equilátero, el baricentro es 
el centro de las circunferencias inscrita y cir-
cunscrita al triángulo.
a) todas b) solo I y II 
c) solo I y III d) solo II y III 
e) ninguna
10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, so-
bre AC se ubica el punto P y se traza PM perpen-
dicular a AB; luego, sobre BC se ubica el punto 
N. Si BN = MP, MN = 2 y m<C = m<BMN = 30°, 
calcule AC. 
 TALENTO PUCP 2016-I
a) 8 3  u b) 16 3 
2
 u c) 4 3  u
d) 8 3 
3
 u e) 5 3  u
Claves
01. c
02. a
03. b
04. d
05. e
06. b
07. b
08. d
09. d
10. d
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES ASOCIADOS A 
UN TRIÁNGULO – TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
NOTABLES, APROXIMADOS Y PITAGÓRICOS
COLEGIOS
6 5.° Año - I BImestreGEOMETRÍA3
Congruencia de triángulos y 
aplicaciones de congruencia
NIVEL BÁSICO
1. Calcule QN, si: AC = 10m, MQ = 4m, AM = MB y 
BN = NC.
A
M
B
N
C
Q
a) 1 m b) 2 m c) 3 m 
d) 4 m e) 5 m
2. Calcule MN, si BM = MC. 
A
12 cm
N C
B
M
αα
a) 12 cm b) 10 cm c) 8 cm
d) 6 cm e) 4 cm
NIVEL INTERMEDIO
3. Calcule BD, si DC = 8m.
F
A
B
C
D
αα
a) 4 m b) 2 m c) 16 m 
d) 8 m e) 10 m
4. Calcule la m<BDC, si AM = MC.
A D M C
42°
B
α α
a) 24° b) 60° c) 48° 
d) 72° e) 45°
5. Calcule la m<ABD, si AB = DC. 
 UNMSM 2016-I
A D C
E
B
x
40°
40°
70°
a) 20° b) 30° c) 25° 
d) 40° e) 35°
6. Calcule m<QPM, si AM = MC. 
A M C
Q
B
P
12°
33°
a) 68° b) 75° c) 82° 
d) 78° e) 80°
7. En un triángulo ABC se tiene que la m<C = 
2m<A. Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP, 
recto en B (P exteriora AB), si m<PAB = 1
2
m<C 
y AP = 12u, determine el valor de BC (en u). 
Tarea
7 45.° Año - I BImestre GEOMETRÍA
4
COLEGIOS
 UNI 2012 II
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
8. Calcule x, si AM = MC, MN = 2AM y BN = BC. 
 UNMSM 2018-I
A M
x
C
B
N
θ
θ
a) 30° b) 60° c) 45°
d) 36° e) 72°
NIVEL AVANZADO
9. Calcule BC, si AD = 4 3  cm.
A
D
B
C
40°
110°
20°
a) 12 cm b) 11 cm c) 13 cm 
d) 14 cm e) 15 cm
10. Calcule AD, si AB = 3m y DC = 4m. 
A B
E
D C
45º
a) 5 m b) 6 m c) 7 m 
d) 8 m e) 9 m
Claves
01. c
02. d
03. d
04. d
05. b
06. d
07. d
08. b
09. a
10. c
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y 
APLICACIONES DE CONGRUENCIA
COLEGIOS
8 5.° Año - I BImestreGEOMETRÍA4
Polígonos y perímetros
 NIVEL BÁSICO
1. Si a un polígono convexo se le disminuye en dos 
el número de lados, su número de diagonales dis-
minuye en 19. Calcule el número de lados del po-
lígono original.
a) 9 b) 10 c) 11 
d) 12 e) 13
 
2. ¿Cuál es el polígono regular, cuyo ángulo interior 
mide 108°?
a) Pentágono b) Hexágono 
c) Heptágono d) Octógono 
e) Eneágono
NIVERL INTERMEDIO
3. Calcular α + β, si ABCDEF es un hexágono regular.
A
F E
D
B C
α
β
a) 115° b) 120° c) 125°
d) 135° e) 150°
4. La figura muestra un pentágono regular, calcule x.
B
C
D
A E
x
a) 15° b) 16° c) 17°
d) 18° e) 19°
5. Determine el polígono convexo, cuyo número de 
diagonales excede al número de vértices en 18. 
 UNMSM 2013-II
a) Eneágono 
b) Pentágono
c) Hexágono 
d) Polígono de 26 lados
e) Polígono de 32 lados
6. Calcule x, si la figura muestra un polígono regular.
x
A F
B
C D
E
a) 120° b) 110° c) 112° 
d) 114° e) 116°
7. En un icoságono regular ABCDE…, calcule la 
medida del ángulo formado por las mediatrices 
de los lados AB y CD. 
a) 30° b) 36° c) 56° 
d) 60° e) 45°
8. La figura muestra un hexágono regular y dos cua-
drados, calcule x.
A
C D
P
Q
M
B
N
F
E x
 
a) 30° b) 37° c) 53° 
d) 45° e) 60°
Tarea
9 55.° Año - I BImestre GEOMETRÍA
5
COLEGIOS
9. En la figura PQ = 2m y QE = 8m, calcule el perí-
metro del hexágono regular.
A
F E
D
B P C
Q
a) 68/7 m b) 240/7 m 
c) 128/7 m d) 320/7 m 
e) 350/7 m
10. Calcular x, si la figura muestra un pentágono re-
gular.
A
B
C
D
E
x
α α
ββ
a) 18° b) 24° c) 36° 
d) 30° e) 60°
Claves
01. d
02. a
03. e
04. d
05. a
06. a
07. b
08. e
09. b
10. c
POLÍGONOS Y PERÍMETROS
COLEGIOS
10 5.° Año - I BImestreGEOMETRÍA5
 NIVEL BÁSICO
1. Las diagonales de un rombo miden 24 m y 32 m, 
calcula su perímetro.
a) 40 m b) 60 m c) 80 m
d) 50 m e) 70 m
 
2. La figura muestra un romboide ABCD, si m<BAP 
= 70°, calcule la m<CBQ. 
A P D
Q
B C
a) 70° b) 50° c) 30°
d) 15° e) 20°
NIVEL INTERMEDIO
3. Calcule x, si ABCD es un cuadrado y CD = CE.
A
B C
E
x
D
a) 15° b) 20° c) 30°
d) 22,5° e) 53°
4. Calcule x, si ABCD es un romboide.
 A
B C
E D
65º
65º x
a) 29° b) 28° c) 25° 
d) 20° e) 10°
5. En un trapecio ABCD (AD // BC), las bisectrices 
exteriores de A y B se intersecan en P, y las bisec-
trices exteriores de C y D se intersecan en Q. Si 
AD + BC = AB + CD = 10cm, calcule PQ en cm. 
 UNI 2016-II
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 16
6. Determine en cada proposición si es verdadera 
(V) o falsa (F).
I. Si las diagonales de un cuadrilátero se bise-
can, entonces dicho cuadrilátero es un para-
lelogramo.
II. Si las diagonales de un cuadrilátero son per-
pendiculares y congruentes, entonces el cua-
drilátero es un cuadrado.
III. Si las diagonales de un trapecio son con-
gruentes, entonces el trapecio es isósceles.
 UNI 2018-II
a) VVF b) VFF c) VFV 
d) FVF e) VVV
7. En un trapezoide ABCD, los ángulos opuestos 
DAB y BCD miden 76° y 154°, respectivamente. 
Calcule la medida del menor ángulo formado por 
las bisectrices interiores de los ángulos ABC y 
CDA. 
 UNMSM 2012-I
a) 39° b) 35° c) 36° 
d) 37° e) 38°
8. Si ABCD es un cuadrado y su lado mide 5 2  cm, 
calcule el perímetro del rectángulo EFGH. 
 UNMSM 2017-II
Cuadriláteros
Tarea
11 65.° Año - I BImestre GEOMETRÍA
6
COLEGIOS
A
B
E
F C
G
H D
a) 15 cm b) 25 cm c) 10 cm 
d) 20 cm e) 30 cm
NIVEL AVANZADO
9 La figura muestra un hexágono regular ABCDEF 
de lado 12 cm y un rombo AGDH, calcule GH.
F E
A D
B C
G
H
a) 20 3  cm 
b) 18 3  cm 
c) 16 3  cm 
d) 24 3  cm 
e) 26 3  cm
10. Calcular x, si ABCD es un rectángulo y AE = EC 
= EF.
 A D
B C
E
x
F
30º
a) 30° b) 37° c) 45° 
d) 53° e) 60°
Claves
01. c
02. e
03. d
04. c
05. b
06. c
07. a
08. d
09. d
10. c
CUADRILÁTEROS
COLEGIOS
12 5.° Año - I BImestreGEOMETRÍA6
 NIVEL BÁSICO
1. Si AB = 13u, BC = 14u y AC = 15u, calcule MC.
A M C
B
a) 5 m b) 6 m c) 7 m 
d) 8 m e) 9 m
2. En una circunferencia de 20 cm de diámetro, se 
traza una cuerda de 12 cm, calcule su flecha. 
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm
d) 4 cm e) 5 cm
NIVEL INTERMEDIO
3. Calcule el radio de la circunferencia, si el períme-
tro del trapecio es 36.
53º
A
B C
D
a) 2 u b) 4 u c) 5 u
d) 2,5 u e) 3 u
4. Si O es centro, R y G son puntos de tangencia, FM 
= 3 cm y FG = 4 cm, calcule MR.
G 
O R
F M
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm
d) 6 cm e) 7 cm
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
inscribe una circunferencia de radio 6 cm, tan-
gente a los lados AB, BC y AC en los puntos M, N 
y E, respectivamente. Si AM = 10cm, calcule EC.
 TALENTO PUCP 2016-I
a) 18 cm b) 24 cm c) 12 cm
d) 30 cm e) 36 cm
6. Si O es centro de la circunferencia, OB = r (radio 
de la circunferencia) y θ = 3β, calcule CD. 
 UNMSM 2014-II
DO
θ β
B A
C
a) r/3 b) r/2 c) 2r 
d) r e) 3r
7. La figura muestra un rombo cuyas diagonales mi-
den 30 cm y 40 cm y una circunferencia inscrita, 
calcule AB + CD. 
A
D
B 
C
a) 11 cm b) 12 cm c) 15 cm
d) 18 cm e) 22 cm
Circunferencia I
Tarea
135.° Año - I BImestre
7-8
COLEGIOS
7-8GEOMETRÍA
8. Si O es punto medio de AB, AO = R, calcule el 
valor del perímetro del triángulo ADE.
 (OBS.: sector circular)
 UNI 2012-I
A O B
E
D
C
a) R/3(5+2 5 ) b) R/2(9+3 5 ) 
c) R/2(9–2 5 ) d) R/5(9+3 5 ) 
e) R( 3 + 2 ) 
NIVEL AVANZADO
9. Si ABCD es un romboide, además la circunfe-
rencia está inscrita en el trapecio ABMD, calcule 
BM, si CD = 12u.
A D
B M C
θ
θ
Claves
01. d
02. b
03. b
04. c
05. b
06. d
07. a
08. d
09. c
10. a
a) 3u b) 4u c) 6u 
d) 7u e) 8u
10. Un triángulo rectángulo tiene catetos de longitu-
des b y c. Si las longitudes de los diámetros de las 
circunferencias inscrita y circunscrita son d y D, 
respectivamente, calcule bc. 
 UNMSM 2013-I
a) (Dd + d2/2) b) (4d + d2/2)
c) (D + dD) d) (D + d2D/2)
e) (Dd + D2/2)
CIRCUNFERENCIA I
COLEGIOS
14 5.° Año - I BImestreGEOMETRÍA7-8